10(o) ANO:Tema II - Funções e Gráficos - Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo

10(o) ANO
Tema II - Funções e Gráficos - Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo (36 aulas)
Os conhecimentos sobre funções, indispensáveis para a compreensão do mundo em que vivemos, vão ser ampliados com base no estudo numérico e gráfico devendo privilegiar o trabalho intuitivo com funções que relacionam variáveis da vida corrente, da Geometria, da Física, da Geografia ou de outras disciplinas.
Em particular faz-se o estudo detalhado das funções polinomiais e da função módulo e resolvem-se gráfica e numericamente algumas equações e inequações.
Este tema tem um ênfase muito grande na ligação entre as fórmulas e as representações geométricas. Esta ligação é muito importante para todos os que utilizarem matemática. A capacidade de as relacionar é uma capacidade fundamental para o mundo de hoje e do futuro e assim este tema deverá fornecer uma formação para a vida toda tão básica como a tabuada.

Pré-Requisitos:
Os alunos devem conhecer a função afim; devem poder reconhecer essa função através do gráfico, esboçar o gráfico e devem conhecer algumas propriedades (monotonia e zeros de forma apenas intuitiva e usando os conhecimentos de equações). Os alunos devem saber resolver equações e inequações do 1(o) grau e resolver equações do 2(o) grau. Os alunos devem conhecer os números reais e representar intervalos de números reais.

Desenvolvimento
*Gráfico cartesiano de uma função em referencial ortogonal.
*Definição de função, gráfico e representação gráfica de uma função.
*Estudo intuitivo tanto a partir de um gráfico particular como usando calculadora gráfica de propriedades das funções e dos seus gráficos (domínio, contradomínio, pontos notáveis, monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem, limites nos ramos infinitos) e análise dos efeitos das mudanças de parâmetros nos gráficos das funções (considerando a variação para cada parâmetro separadamente) para as seguintes funções:
i) Funções quadráticas; estudo a partir da família de funções definida por
f(x)=ax^2 + bx +c e a partir dos zeros e do sinal do trinómio ax^2 + bx +c;
ii) função módulo; estudo da família de funções definidas por
f(x) = a |bx + c| + d ;
iii) funções definidas por dois ou mais ramos (cujo domínio é um intervalo ou união de intervalos).

DesenvolvimentoIndicações Metodológicas
Para todos os tipos de funções devem ser dados exemplos a partir de questões concretas (tanto de outras áreas da matemática como os constantes em livros de Física, Química, Geografia, Economia, etc, em recortes de jornais). Particular importância deverá ser dada a situações problemáticas, situações de modelação matemática e a exemplos ligados com o trabalhos da Área-Escola e com a Geometria, devendo retomar-se alguns exemplos estudados no tema anterior. Os alunos devem reconhecer que o mesmo tipo de função pode constituir um modelo de diferentes tipos de situações problemáticas.
Com vista a facilitar o uso de uma linguagem rigorosa (mas não formalista) o professor pode introduzir os conceitos de condição e proposição e referir sumariamente ao longo do tema as propriedades da conjunção, disjunção, negação e implicação.
Os alunos devem sempre traçar um número apreciável de funções tanto manualmente em papel quadriculado ou papel milimétrico como usando calculadora gráfica ou computador.
Dificuldade a não exceder nas funções definidas por dois ou mais ramos:

f(r) = |r - a|, g(x) = |x - 3| + 1, h(x) = [Picture parte12rtf]

No estudo das famílias de funções os alunos podem realizar pequenas investigações.

Desenvolvimento
*Resolução de problemas envolvendo a expressão de uma variável em função de outra, ou recorrendo a uma representação gráfica.
*Referência à parábola, às suas principais propriedades e à sua importância histórica.

*Equações e inequações do 2(o) grau; inequações com um módulo.

*Estudo de funções polinomiais e polinómios, com particular incidência nos graus 3 e 4.

*Possibilidade da decomposição de um polinómio em factores (informação). Decomposição de um polinómio em factores em casos simples, por divisão dos polinómios e recorrendo à regra de Ruffini. Justificação desta regra.

*Estudo gráfico de inequações envolvendo polinómios com recurso à calculadora gráfica ou a partir de uma decomposição em factores do polinómio, usando uma tabela de variação de sinais. Os alunos devem verificar que obtiveram o resultado esperado usando o outro método, ou usando propriedades conhecidas.
*Estudo de transformações simples de funções (tanto usando papel e lápis como calculadora gráfica): dada a função f tanto a partir de um gráfico como a partir de uma expressão analítica, esboçar o gráfico das funções definidas por y = f(x)+a, y = f(x+a), y = af(x), y = f(ax), y = |f(x)|, y = f(|x|), com a positivo ou negativo, descrevendo o resultado recorrendo a linguagem geométrica.
*Resolução de problemas concretos envolvendo funções polinomiais.

(*)Estudo intuitivo de curvas que se ajustem a um conjunto de pontos dados.

Indicações Metodológicas
Experimentando com a calculadora gráfica ou computador, os alunos devem observar que podem ser apresentadas diferentes representações gráficas de um mesmo gráfico, variando as escalas da representação gráfica.
Quando for usada a calculadora gráfica os alunos devem explorar claramente os diversos comportamentos. Os alunos devem saber evitar conclusões apressadas e devem ser incentivados a elaborar conjecturas em função do que se lhes apresenta mas devem ser sistematicamente treinados na análise crítica de todas as suas conclusões.
Os alunos devem observar que a representação gráfica depende de forma decisiva do rectângulo de visualização escolhido. Devem ainda estudar situações em que uma descrição qualitativa satisfatória do comportamento da função só é possível com um gráfico múltiplo (conjunto de gráficos em diferentes rectângulos de visualização)
Os alunos devem determinar pontos notáveis (como intersecção com os eixos coordenados) e extremos de forma aproximada (com uma aproximação definida a priori) a partir do gráfico traçado na calculadora gráfica ou computador.
No estudo de polinómios os alunos devem trabalhar tanto com po-linómios do tipo 3x^3 + x^2+ 5 em que o trabalho será numérico e gráfi-co e em que para ter uma informação satisfatória são precisos dois grá-ficos, como devem trabalhar com polinómios do tipo x^3 + x^2 - 3x + 1, em que por tentativas é possível encontrar uma raiz (neste caso 1) e, depois de usar a regra de Ruffini, reduzir a um polinómio de grau inferior.
Um aluno deverá registar por escrito as observações que fizer ao usar a calculadora gráfica ou outro material, descrevendo com cuidado as propriedades constatadas e justificando devidamente as suas conclusões relativamente aos resultados esperados (para desenvolver o espírito crítico e a capacidade de comunicação matemática).

(*) O estudo de curvas deve ser feito de modo informal, experimentando o aluno qual dos tipos de funções já estudadas melhor se ajusta (poderá ser analisada a soma dos desvios ou a soma dos quadrados dos desvios).

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