11(o) ANO:Tema I - Geometria no Plano e no Espaço II

11(o) ANO
Tema I - Geometria no Plano e no Espaço II (36 aulas)
A trigonometria tem a sua origem no estudo da medição de triângulos. Problemas relacionados com a navegação, a topografia, a indústria de moldes, entre muitos outros, exigem a resolução de triângulos. Mais tarde ao serem estudadas as funções trigonométricas veremos aparecer o seno e o co-seno como modelos matemáticos para fenómenos periódicos tais como variações de temperatura , de marés,..., mas nesta primeira abordagem para além da resolução de problemas que envolvam triângulos trata-se somente de ampliar o conceito de ângulo que passa a ser encarado como gerado por uma semi-recta em movimento (sentido positivo ou negativo) bem como o estudo do circulo trigonométrico e a resolução de algumas equações trigonométricas simples.
A calculadora facilitará o estudo da Trigonometria e permitirá que o tempo seja dedicado à compreensão dos conceitos e às aplicações ligadas a problemas reais, reduzindo-se o ênfase em exercícios de cálculo.
A continuação do estudo da Geometria com a noção de produto escalar e suas aplicações ligada à resolução de problemas deve permitir ao aluno melhorar as suas capacidades de visualização e representação aumentando a sua intuição geométrica.
Devem continuar a explorar-se as ligações da Geometria aos outros conteúdos. Os conhecimentos adquiridos nesta unidade devem mostrar ao aluno como a linguagem das coordenadas e dos vectores lhe fornece novos utensílios para resolver problemas já abordados noutras perspectivas.

Desenvolvimento

Resolução de problemas que envolvam triângulos.

*Ângulo e arco generalizados:
- Radiano.
- Expressão geral das amplitudes dos ângulos com os mesmos lados, em graus e radianos.

*Funções seno, co-seno e tangente: definição; variação (estudo no círculo trigonométrico); valores em p/6, p/4 e p/3 radianos.

*Relações entre as funções circulares de a, e de p/2 - a, p/2 + a, p-a, p+a e - a.

*Expressão geral das amplitudes dos ângulos com o mesmo seno, co-seno ou tangente. Equações trigonométricas elementares.

Indicações Metodológicas

Devem propôr-se aos alunos problemas variados ligados a situações concretas onde apliquem métodos trigonométricos (problemas ligados a sólidos, a moldes, à navegação, à topografia , históricos,...) de modo a que o aluno se aperceba da importância da trigonometria para as várias Ciências. As calculadoras permitem que o aluno se preocupe menos com os cálculos e mais com a compreensão do problema.

Embora se refiram estes valores por se considerar que é importante que o aluno conheça alguns valores exactos das funções trigonométricas, nomeadamente para que mais tarde possa confirmar pontos do traçado de gráficos de funções trigonométricas, não devem os alunos trabalhar preferencialmente com eles pois possuem uma calculadora.
Devem aperceber-se da diferença em trabalhar por exemplo com sen1 em graus e radianos de modo a ter sempre bem presente em que modo está a calculadora e interpretar convenientemente os resultados.

Depois de compreendidas as relações referidas por observação do circulo trigonométrico tornam-se desnecessários exercícios repetitivos de puras técnicas de cálculo e rotina.
É importante que os alunos verifiquem que se mantêm as relações:
[Picture parte14rtf] ; e =

e as usem na determinação de uma função trigonométrica, conhecida outra.

As equações trigonométricas a resolver devem ser simples do tipo sen (kx) = sen a , cos( kx+a) = cos a , tg (kx) = tg a.

Não é de excluir uma breve referência aos seno e co-seno como funções reais de variáel real e aos gráficos destas funções trigonométricas.

Desenvolvimento

*Expressão geral das amplitudes dos ângulos com o mesmo seno , co-seno ou tangente. Equações trigonométricas elementares.

*Produto escalar de dois vectores no plano e no espaço:
- Definição e propriedades.
- Expressão do produto escalar nas coordenadas dos vectores em referencial ortonormado.

- Ângulo de duas rectas; inclinação de uma recta; declive como tangente da inclinação no caso da equação reduzida da recta no plano.
- Perpendicularidade de vectores e de rectas.
- Aplicação do produto escalar à dedução da fórmula do desenvolvimento de
cos(x-y)

*Conjuntos definidos por condições.

*Breve referência à equação cartesiana do plano definido por um ponto e o vector normal.

*Intersecção de planos; interpretação geométrica; resolução de sistemas.

*Equações cartesianas da recta no espaço.

*Paralelismo e perpendicularidade de rectas e planos (interpretação vectorial).

(*) Programação linear - breve introdução.

Indicações Metodológicas

A partir da equação vectorial o aluno pode chegar facilmente às equações cartesianas da recta.

O ensino deve dedicar a maior ênfase à análise e interpretação de figuras quer planas quer tridimensionais pois o aluno para resolver problemas da vida corrente ou relacionados com áreas da engenharia, arquitectura,... precisa de usar intuição e raciocínios geométricos.

O professor deve assegurar que neste estudo da Geometria o aluno não se limite unicamente à manipulação de condições desligadas de situações concretas e sem as interpretar. Deve procurar que a aprendizagem dos novos conceitos apareça ligada à resolução de problemas como prolongamento da geometria estudada no ano anterior (agora o aluno poderá justificar propriedades das figuras usando as suas representações em coordenadas)n

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