12(o) ANO:Tema I - Probabilidades e Combinatória

12(o) ANO
Tema I - Probabilidades e Combinatória (36 aulas)
As probabilidades fornecem conceitos e métodos para estudar casos de incerteza e para interpretar previsões baseadas na incerteza. Este estudo, que pode ser em grande parte experimental, fornece uma base conceptual que capacita para interpretar, de forma crítica , toda a comunicação que utiliza a linguagem das probabilidades, bem como a linguagem estatística.
As técnicas de contagem que aqui aparecem como auxiliar do cálculo de probabilidades constituem uma aprendizagem significativa por si só, especialmente se desenvolverem mais as capacidades do raciocínio combinatório e as conexões matemáticas e menos a aplicação das fórmulas.
Considera-se ainda que o tema das Probabilidades constitui uma boa oportunidade para a introdução de uma axiomática, uma das formas de organizar uma teoria matemática .
Finalmente, qualquer destes assuntos é bom para prosseguir objectivos de trabalho em aspectos da História da Matemática.

Pré-requisitos:
Noções elementares sobre conjuntos, Probabilidades do 3(o) Ciclo do Ensino Básico.

Desenvolvimento
Introdução ao cálculo de Probabilidades:
*Experiência aleatória; conjunto de resultados; acontecimento como subconjunto.
*Operações sobre acontecimentos.
*Acontecimento elementar; acontecimento certo, impossível; acontecimentos contrário e incompatíveis.
*Lei dos grandes números
*Conceito frequencista de probabilidade; Propriedades
*Cálculo de probabilidades pela Lei de Laplace
Distribuição de frequências relativas e distribuição de probabilidades
*Média, desvio padrão
*Representação gráfica: referência à curva de Gauss e a caracteres que se distribuem normalmente

Definição axiomática de Probabilidade (caso finito) e propriedades elementares
*Definição de probabilidade condicionada. e sua verificação da axiomática das probabilidades

Indicações Metodológicas
Todo o trabalho deve iniciar-se pela realização de experiências aleatórias ( frequências relativas e probabilidades). Os estudantes devem ser levados a elaborar formas de registo "legíveis" para os resultados das suas experiências que podem ser partilhadas em grupo. As experiências e o estudo de situações (em particular dos jogos) devem ser aproveitadas para dinamizar discussões de tipo científico, bem como o trabalho cooperativo.

A axiomática das Probabilidades pode ser obtida pela intuição a partir das conclusões que se forem tirando das experiências e de outros exemplos apresentados. A axiomática, por ser curta , permite alguns exercícios de verificação simples capazes de motivar a apropriação da utilidade deste tipo de abordagem matemática.

Desenvolvimento
Combinatória
*Técnicas de contagem.
*Permutações. Arranjos com e sem repetição.
*Partes de um conjunto e combinações sem repetição; propriedades. Triângulo de Pascal.
*Binómio de Newton.

Aplicações ao cálculo de Probabilidades
*Acontecimentos independentes.

(*)O problema das provas repetidas e referência à lei binomial de probabilidade

Indicações Metodológicas
No caso das contagens que sejam facilitados por raciocínios combinatórios, os alunos devem começar por contar os elementos um a um, utilizando exemplos (desde os mais simples até aos complicados), até que reconheçam a utilidade dos diagramas e depois das organizações simplificadoras. Os exemplos de conjuntos para a contagem devem surgir de situações problemáticas que lhes forem sendo propostas. Mesmo o triângulo de Pascal deve ser introduzido a partir de problemas. Muitos problemas postos podem e devem resultar da análise de jogos conhecidos.
As propriedades devem ser acedidas por meio de raciocínios combinatórios, mas não deve ser desprezada a ideia de, caso seja possível, introduzir conexões matemáticas - com métodos recursivos e fazendo alguma demonstração por indução matemática.

Pascal, Tartaglia e Laplace são exemplos "interessantes" para realizar incursões na história dos conceitos matemáticos, na vida dos matemáticos, nas ligações da Matemática com outros ramos de saber e actividade. Deve ser referido que muitos resultados de contagens já eram conhecidos anteriormente noutras civilizações (o triângulo de Pascal era conhecido na China vários séculos antes de Pascal)

Pretende-se que o aluno trate agora com rigor os conceitos anteriormente estudados de forma primordialmente intuitiva.

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