Tema Geral

O tema "Lógica e Raciocínio Matemático" aparece como "Tema Geral", lateralmente ao corpo do programa, pois não se pretende que constitua em si mesmo um conteúdo do programa de ensino; contudo a sua abordagem é indispensável para a formação secundária em Matemática. Os diversos itens deste tema são obrigatoriamente tratados ao longo dos três anos. No corpo do programa são feitas algumas sugestões para as oportunidades da abordagem destes temas, mas cabe ao professor, consideradas a maturidade dos alunos e as condições das turmas, decidir quando e onde deve fazer a abordagem proposta.

Tema Geral

Lógica e Raciocínio Matemático
A aprendizagem matemática dos alunos passa por fases intuitivas e informais, mas, desde muito cedo, mesmo estas não podem deixar de ser rigorosas ou desprovidas de demonstrações correctas, bem como não podem passar sem um mínimo de linguagem simbólica. Na aprendizagem da matemática elementar dos ensinos básico e secundário são absolutamente necessárias as demonstrações matemáticas, mas estas não podem confundir-se com demonstrações formalizadas (no sentido de deduções formais em teorias formais). Neste capítulo, chama-se a atenção para alguns assuntos que, não constituindo em si mesmos conteúdos do programa, são alguma da essência de muitos passos da aprendizagem de diversos assuntos e constituem elementos que ajudam os estudantes a compreender demonstrações e a racionalizar os desenvolvimentos desta ou daquela teoria. Como se pode ver pelo corpo do programa, não se pretende que a matemática ou matemáticas sejam introduzidas axiomaticamente, mas pretende-se que os estudantes fiquem com a ideia de que as teorias matemáticas são estruturadas dedutivamente. Defende-se que os conceitos fundamentais e as suas propriedades básicas sejam motivados intuitivamente, mas defende-se que os alunos possam trabalhá-los até chegarem a formulações matemáticas precisas, sem que, em algum momento, se confunda o grau de precisão de um conceito matemático com qualquer grau de "simbolização". Um conceito matemático pode estar completa e rigorosamente compreendido expresso em língua natural ou em linguagem matemática ordinária que é uma mistura de linguagem natural, simbologia lógica e matemática. A escrita simbólica das proposições matemáticas há-de aparecer, se possível naturalmente, para efeitos de precisão, condensação e economia, clareza de exposição.

Desenvolvimento
*Noções de lógica
*Operações com condições e operações com conjuntos.
*Implicação formal e inclusão: transitividade. Lei da conversão.
*Primeiras leis de De Morgan. Quantificadores.

*Noção de teorema: hipótese, tese e demonstração.

*Métodos de demonstração: método analítico, método sintético, método de redução ao absurdo, indução matemática. Contra-exemplos.

Indicações Metodológicas
Todas as noções de lógica e teoria de conjuntos devem ser introduzidas à medida que vão sendo precisas ou recorrendo a exemplos concretos de matéria usada: resolução de equações e inequações, propriedades dos módulos, propriedades das funções, axiomática das probabilidades.
Muitos pequenos exemplos ligados ao trabalho com I|d|ba 2()R e suas propriedades podem servir como exemplos de esclarecimento de alguma operação lógica.

No que diz respeito aos métodos de demonstração, eles devem ser referidos à medida que vão sendo usados ou após os alunos terem já utilizado os vários métodos em pequenas demonstrações informais (mesmo para confirmar as suas resoluções de problemas). Não estão sugeridos explicitamente no corpo do programa, mas todo o estudo da Geometria Analítica se baseia numa geometria sintética euclideana, semi-intuitiva, semi-dedutiva em que se procuram explorar intuições espaciais e habilidades dedutivas. O hábito de pensar correctamente, que é o que afinal está em causa, deve ser acompanhado do hábito de argumentar oralmente ou por escrito e, sempre que possível, os alunos devem realizar exercícios metodológicos de descoberta de justificações (que não são mais do que novos problemas, por vezes dentro de outros problemas cuja resolução carece de ser comprovada). A indução matemática, como método de demonstração, deve aparecer individualizada como exemplo particular do raciocínio dedutivo (quer para provar propriedades de sucessões, quer para provar propriedades combinatórias, se houver tempo).

Desenvolvimento
*Reflexão sobre as heurísticas de Polya para a resolução de problemas.

*O processo de modelação matemática.

Indicações Metodológicas
A organização da heurística de Polya (de Guzmán, ou outra) para a resolução de problemas deve aparecer aos alunos após a resolução de vários problemas (abstractos, por exemplo com conjuntos, ou envolvendo aplicações) e depois dos alunos discutirem os procedimentos usados. Elas servirão como pano de fundo organizacional do pensamento para atacar os problemas, de modo a que os alunos não esqueçam qualquer fase importante. É importante que os estudantes se apercebam da necessidade de um plano, e que, sem que eles abandonem a criação dos seus próprios estilos de organização e a experiência já existente, compreendam que o conhecimento destas heurísticas vai permitir melhorá-los. Estas organizações de pensamento são úteis para todos os aspectos da vida e não só para a Matemática.

A introdução e o desenvolvimento destes temas é facilitador do "desenvolvimento da linguagem e do simbolismo para comunicar ideias matemáticas" de modo que os alunos "reflictam sobre, e clarifiquem, o seu pensamento matemático no que diz respeito às noções e relações matemáticas, formulem definições matemáticas e exprimam generalizações descobertas através de investigações, exprimam as noções matemáticas oralmente e por escrito, ... façam perguntas de clarificação e de desenvolvimento relacionadas com assuntos matemáticos que leram ou ouviram falar e apreciem a economia, o poder e a elegância da notação matemática bem como o seu papel no desenvolvimento das ideias matemáticas." Estamos em crer que estes temas, incluídos em experiências variadas, são facilitadores de aprendizagens que reforçam a capacidade de raciocinar logicamente, pelas oportunidades de formular e testar conjecturas e analisar contra-exemplos, de avaliar a validade de raciocínios e de construir demonstrações.

Finalmente, quando for oportuno (as probabilidades e a estatística são temas e momentos apropriados na falta de outros momentos) devem ser abordadas as diferenças entre raciocínio plausível e raciocínio demonstrativo, ao mesmo tempo que se abordam os diversos tipos de evidência científica. Estas abordagens constituem bases seguras para criar um espírito crítico construtivo capaz de destrinçar a qualidade relativa de cada uma das informações que o aluno recebe.

Deve ser discutido com os alunos o processo de modelação matemática e a sua importância no mundo actual. Este tema deverá ser abordado o mais tardar a propósito dos problemas de optimização no 12(o) ano.

FIM

Back to document index

Voltar à área de Ensino da Matemática

VOLTAR AO PRINCíPIO DE TUDO

Original file name: parte20rtf