Análise Matemática II - Engª Mecânica, Engª Materiais

17 de Julho de 2003

Duração: 2h 30m

Sem consulta de apontamentos ou textos

Tabela autorizada

Calculadora científica ou gráfica autorizada

1- O termo geral da sucessão associada de uma série de funções é dado por .

a) A série converge? Porquê?

b) Determine .

c) Determine .

2- Considere a curva definida pelas coordenadas paramétricas (onde se supõe que a e b são reais positivos):

,

a) Atribuindo valores a a e b, esboce todos os possíveis tipos de representação gráfica desta curva (Nota: responda a esta alínea na folha de resposta anexa).

b) Tomando a = 2 e b = 3 determine a área da figura limitada pela curva.

3- a) Escreva o polinómio de Taylor de ordem 3 de no ponto a = 2.

b) Determine uma estimativa do erro cometido se se tomar em vez de quando x varia ente 1,8 e 2,2.

4- a) Deterime o desenvolvimento em série de potências de x da função definida por

b) Determine o raio de convergência da série obtida.

5- Considere a sucessão de funções

, xÎ[-1,0]

a) Calcule o limite pontual da sucessão de funções.

b) Mostre que a sucessão de funções não converge uniformemente.

c) Sem efectuar qualquer cálculo, indique o que pode afirmar sobre o valor lógico da seguinte igualdade

6- a) Determine a convergência da série numérica

b) Determine o raio de convergência da série de potências

7- Considere a função periódica de período 3π definida por meio de

a) Determine a sua série de Fourier;

b) Esboce graficamente, usando a sua calculadora gráfica, os quatro primeiros termos da sucessão associada da série (para n=0, n=1, n=2 e n=3). (Nota: responda a esta alínea na folha de resposta anexa).

c) Que propriedade das séries de Fourier se poderá observar no gráfico esboçado na alínea anterior?

Folha de resposta (não esquecer de anexar ao caderno de respostas)

Nome:_________________________________________________ Nº:_________

Análise Matemática II - Engª Mecânica, Engª Materiais

17 de Julho de 2003

2 a)-

7 b)-