1- Considere a função definida a partir do gráfico seguinte

Determine onde .

2- Seja uma função definida por

de domínio .

a) Prove que é par; b) Determine ;

c) Calcule ; d) Determine os extremos de caso existam;

e) Com estes elementos esboce a curva.

3- Seja

a) Escreva o polinómio de Taylor de grau n para a função no ponto zero;

b) Escreva os respectivos restos de Lagrange e de Taylor-Young;

c) Usando a fórmula de Taylor-Young já obtida, com um valor adequado para n, levante a indeterminação

4- Os jornais noticiaram no final de Agosto a tentativa de obter a "fusão quente", a fusão de átomos de hidrogénio a temperaturas da ordem dos 3 milhões de graus centígrados. Essas temperaturas são obtidas no acelerador Z do Laboratório Nacional Sandia dos Estados Unidos onde os plasmas são contidos em poderosos campos magnéticos. Nos últimos 10 meses foram obtidas temperaturas que passaram de 300 mil graus centígrados a 1,5 milhões de graus centígrados. O jornalista comentava que "podemos antever que a evolução é exponencial e a fusão nuclear está ao virar da esquina". Supondo que a evolução das temperaturas obtidas é exponencial, indique quando serão obtidas as temperaturas necessárias à "fusão quente".

5- É dado que a série é convergente se e só se e que o termo geral da sua sucessão associada é (se ).

a) Mostre que a soma da série dada é igual a , se ;

b) A partir da série binomial desenvolva em série de potências de x a função definida por .

c) Se não errou o problema, reencontrou a mesma série . Porquê?

6- Calcule o volume gerado pela rotação em torno do eixo dos YY da região plana definida por

7- Determine a natureza das séries

a)

b)

8- a) Prove que entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função derivável há quando muito um zero de .

b) Considere a curva de coordenadas polares . Suponha que, para todo o do intervalo , se tem

Explique que consequências tem este facto sobre o comportamento da curva.