2(a) frequência - Análise Matemática I - 1995/96

2(a) frequência Análise Matemática I Eng(a) Mecânica

Análise Matemática I - Eng(a) Mecânica
19 de Junho de 1996

Duração: 3 horas
Sem consulta de apontamentos ou textos
Tabela autorizada
Calculadora científica ou gráfica autorizada

1- Indique a natureza do seguinte integral impróprio

No caso de haver convergência, indique o valor do integral impróprio.

2- a) Esboce a região do plano limitada inferiormente pela curva definida pela expressão analítica e superiormente pela tangente à curva no ponto (0,-3) e pela recta definida por .
b) Calcule a área da região plana referida.

3- Considere a função real de variável real definida por:

a) Desenvolva-a em série de potências de x -2
b) Determine o intervalo de convergência da série obtida.
c) Por que não se pode desenvolver a função g em série de potências de x ?
d) Use a alínea a) para determinar

sem calcular directamente a derivada de ordem 100 de g.
e) Use a alínea a) para determinar a soma da seguinte série numérica

f) Use a alínea a) para obter, justificando devidamente, o valor do integral

4- Determine a natureza das séries numéricas seguintes:

5- Seja uma série numérica de termos positivos. Seja g uma função definida por

Seja f uma função real de variável real tal que

i) f(k) = ak ;
ii) o domínio de f é [1,+(inf)[ ;
iii) f é positiva ;
iv) f é decrescente .
a) Prove que o termo geral Sk da sucessão associada à série dada é igual a .

b) Prove que a série será convergente se e só se o integral impróprio for convergente.
c) Prove que .

d) O que pode concluir da alínea anterior?

6- Quando estava a escrever a 2(a) frequência, tracei o gráfico de uma função f para pedir a determinação da área da figura obtida. Como o Destino fez cair um "borrão" no meu desenho tive de alterar o problema.

Assim, usando apenas as informações fornecidas pela figura acima, indique qual (ou quais) dos seguintes integrais poderá ser positivo, justificando devidamente:

Original file name: 2freqmec