Calculadoras manhosas!

Agora fala-se muito no uso de calculadoras (aqui há uns anos atrás falava-se em réguas de cálculo - não sabem do que se trata? perguntem aos vossos professores). Muitas pessoas pensam que não passa de uma moda (como a das réguas de cálculo noutros tempos), outras pensam que é um instrumento de preguiça para os alunos deixarem de fazer contas, outras ainda que se trata de uma espectacular conquista do século XX que irá modificar muito as nossas vidas. Penso que estes últimos têm razão, e que só pecam por defeito na sua apreciação; de facto, as calculadoras (e os computadores naturalmente), ir-nos-ão permitir além do mais fazer coisas que antes julgávamos impensáveis. Por exemplo:
Quanto vale

ou, para quem sabe trigonometria, quanto vale

ou outro cálculo esquisito qualquer que possa aparecer no decurso de um qualquer problema? AC (isto é antes da calculadora) nem sequer tentávamos fazer o cálculo; deixávamos o resultado tal qual. DC (depois da calculadora) pegamos na máquina e ... zás ... já está o resultado

ou

respectivamente.
Mas agora aparece-nos um problema novo: Como poderemos ter a certeza de que a calculadora não nos enganou? Ou que nós não nos enganámos a carregar nas teclas e obtivemos um resultado errado? Eis a primeira resposta que nos poderá ocorrer: repetimos os cálculos e se obtivermos um resultado igual deve estar certo. Mas e se repetimos (por qualquer razão) o mesmo erro ou um erro equivalente? Repetimos os cálculos outra vez? Mas que seca!...
Este problema não tem uma solução simples pois, mesmo que carreguemos correctamente nas teclas, não quer dizer que o resultado nos mereça confiança. Para perceberem melhor o que quero dizer, experimentem efectuar na calculadora a adição simples

Que obtiveram? Eu obtive

Que estranho! Como é possível?! Experimentem agora

1234567890+0.0007

E agora? Eu obtive exactamente o mesmo resultado que antes! Então é tudo igual? Nós sabemos que não. Mesmo sem fazer os cálculos sabemos que

1234567890+0.0003 é diferente de 1234567890+0.0007

E se a mim e a vocês todos deu o mesmo resultado (como é que eu sei?) é porque as nossas calculadoras estão em perfeito estado de funcionamento. Onde está então o erro? Ora vejamos. Quantos algarismos aparecem no écran da vossa calculadora? A resposta é variável pois existem vários tipos de calculadoras, mas normalmente não vão além dos dez dígitos. Isto é, a calculadora não consegue escrever números que precisem de mais de dez dígitos. E se o número se escreve com mais de dez dígitos como é que a calculadora procede? Há dois processos: truncatura e arredondamento. Aquele que a vossa calculadora utiliza vem indicado no manual (espero que não tenham deitado o manual para o lixo!). A truncatura significa que a máquina corta (trunca) o número de modo a ficar só com dez dígitos. O arredondamento significa que a máquina arredonda o número pelas regras usuais: se o primeiro algarismo cortado é 5 ou superior a máquina soma uma unidade ao último algarismo escrito, se o primeiro algarismo cortado é inferior a 5 a máquina não altera o último algarismo escrito. Vejam os seguintes exemplos

Número		Número truncado para dez algarismos		Número arredondado para dez algarismos
12345.456734		12345.45673		12345.45673
12345.4567351		12345.45673		12345.45674
12345.456737		12345.45673		12345.45674
12345.45673999		12345.45673		12345.45674

E se o número não tem casas decimais? Então a máquina recorre à chamada notação científica (usada também quando o número tem casas decimais):

que a máquina normalmente escreve como

respectivamente.
Mas como a máquina só escreve números com dez dígitos então escreve na realidade o primeiro número como 1.234567891E11. Eis outros exemplos:

Número	Número truncado para dez algarismos	Número arredondado para dez algarismos
12345456734	1.234545673E10	1.234545673E10
123454567351	1.234545673E11	1.234545674E11
12345456737	1.234545673E10	1.234545674E10
1234545673999	1.234545673E12	1.234545674E12

Já estão a perceber porque é que a conta acima deu errada na calculadora? Claro, nós sabemos que

1234567890+0.0003 = 1234567890.0003

mas como a calculadora só representa dez algarismos a calculadora apenas apresenta como resultado 1234567890 pois arredonda (ou trunca, neste caso é igual) 1234567890.0003 para 1234567890.

Conclusão : não se pode somar um número muito grande com outro muito pequeno pois o resultado é enganador.

Outra conclusão : afinal a calculadora não serve para fazer as contas todas.

Última conclusão : para saber utilizar a calculadora como deve ser é preciso estudar ainda mais matemática! (Ah!....)

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