Problemas para pensar com calma

A Matemática não são só problemas rotineiros que muitas vezes aparecem de forma enjoativa nos livros de texto. A Matemática não é só a tabuada, a simplificação de expressões, a resolução de equações, inequações e sistemas de equações, etc. Claro que é necessário dominar tais técnicas, mas é preciso fazer muitas outras coisas para estudar Matemática. Por exemplo, puxar da cabeça (mas não com muita forca, senão ela ainda pode cair...) para resolver problemas. Embora os problemas que vos apresento abaixo não pareçam ter nada a ver com a matemática, a realidade é que também são problemas de matemática, e têm a ver com matemática bastante importante. Pensa neles, discute com os teus amigos, os teus pais, com quem quiseres. Se não conseguires chegar a uma solução não desanimes; nos próximos capítulos te explicarei a resolução dos problemas.

1 - CORTAR PAPEL VEGETAL

Supõe que tens à tua frente uma enorme folha de papel vegetal e uma tesoura e que, à falta de melhor passatempo, te vais pôr a cortar a folha de papel vegetal. Começas por cortar ao meio a folha e assim obténs duas folhas de papel vegetal (mais pequenas evidentemente). Sobrepões estas duas folhas de papel vegetal e corta-las ao meio. Obténs deste modo quatro folhas de papel vegetal. Sobrepões agora as quatro folhas e novamente cortas tudo ao meio. Obténs 8 folhas. Sobrepões as oito folhas . . . Já estás a ver como passas o tempo. Cortas ao meio as folhas de papel vegetal e sobrepões as folhas que resultam do corte. Para concretizar, supõe que a folha inicial tem 0,01 milímetros de espessura (isto é, que 100 folhas de papel vegetal sobrepostas têm um milímetro de espessura), e que é suficientemente grande e resistente para poderes fazer todos os cortes que quiseres. Depois de repetires 50 vezes o processo de corte e sobreposição, qual é, aproximadamente, a altura das folhas de papel vegetal que obténs no fim?

2 - QUEM LUCRA MAIS?

O milionário D. Fuinha era muito agarrado ao dinheiro. Em cada passo que dava via sempre como podia aumentar a sua monstruosa fortuna. Um dia apareceu-lhe o maltrapilho Zé do Boné que lhe propôs um negócio muito aliciante:
a) O negócio durará trinta dias; b) Em cada dia o Zé do Boné dá 100 contos ao D. Fuinha ; c) No 1º dia D. Fuinha dá um escudo ao Zé do Boné , 2 escudos no segundo dia, 4 escudos no terceiro dia e assim sucessivamente; em cada dia D. Fuinha dá ao Zé do Boné o dobro do que deu no dia anterior. D. Fuinha ficou entusiasmado com este negócio. Obviamente aceitou a proposta don Zé do Boné . Nem conseguiu dormir só de pensar que ia ganhar tanto dinheiro com tanta facilidade. Teria razão D. Fuinha ? Seria o Zé do Boné um parvo?

3 - NO TEMPO DE D. AFONSO HENRIQUES

No tempo de D. Afonso Henriques, o território de Portugal não era tão grande como actualmente. Só no reinado de D. Afonso III é que, terminadas as conquistas aos mouros, Portugal ficou aproximadamente com as dimensões que tem hoje. Mas quantas pessoas viveriam nesse tempo? (para simplificar podemos considerar que todas as pessoas, que viviam no Portugal de então, eram portugueses). Consideremos o seguinte raciocínio: O menino Leocádio tem (ou teve) dois pais. Por sua vez, cada um dos pais teve dois pais, os avós do menino Leocádio. Cada um dos avós teve também dois pais, os bisavós do menino Leocádio. Já vamos em oito pessoas, que viveram mais ou menos há 90 anos atrás (contando que, de pais para filhos, passam em média 30 anos).
Continuando: Cada bisavô do menino Leocádio teve dois pais (um total de 16 pessoas e 120 anos), que por sua vez tiveram cada um dois pais (um total de 32 pessoas e 150 anos), que por sua vez . . . Para não nos perdermos façamos uma tabela:

Se fizeres as contas, verás que, há cerca de 840 anos atrás (no reinado de D. Afonso Henriques), viviam aproximadamente 125 milhões de antepassados do menino Leocádio. Não acreditas? Então acaba as contas:

E repara que nenhum deles podia ter morrido antes de gerar o seu filho, pois assim a cadeia de antepassados era interrompida e o menino Leocádio não teria nascido.
Como sabes, Portugal tem actualmente uma população de cerca de 10 milhões de habitantes, e, contando apenas os antepassados do menino Leocádio, pelas nossas contas, no tempo de D. Afonso Henriques havia cerca de 125 milhões de pessoas em Portugal! Como é isso possível? Portugal só atingiu um milhão de habitantes no tempo de D.João I. E lembra-te que no tempo de D. Afonso Henriques o território português era inferior ao actual!

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