Números maiores do que a imaginação:
o gugol e o gugolplex

Provavelmente já se interrogaram se não haveria o número "maior de todos". E se calhar já tentaram descobrir esse número. Terão certamente pensado que esse número teria que ser tão grande que encheria todo o universo e nada maior poderia existir. Claro que a ilusão sobre a existência desse número deve ter durado pouco, até alguém observar, gozando, que isso não passava de uma palermice; por maior que fosse o número em que se pensasse, existiria sempre o número igual a esse mais uma unidade, obviamente maior. Lá se foi mais uma ilusão... Mas houve alguém que não se deixou desarmar com este argumento e inventou o gugolplex, o maior número que alguém conseguiria alguma vez imaginar. Esse alguém foi um miúdo de 9 anos que, para poder descrever bem o gugolplex, inventou também o gugol. O gugol é 1 seguido de 100 zeros:

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000.

Um modo abreviado de escrever este número é como

10^100

isto é, 10 levantado a uma potência n é igual a 1 seguido de n zeros. E o gugolplex é 10^gugol, isto é, 1 seguido de um gugol de zeros. Grande, não é? Se escrever 100 zeros já deu algum trabalho, escrever um milhão de zeros deve ser um enorme suplício, então como será um gugol de zeros? Acho melhor não escrever este número para não gastar o papel todo. Mas como imaginar qual a ordem de grandeza destes números? São grandes, claro, mas 1000 ou um bilião também são números grandes. O gugolplex não é evidentemente o maior número de todos, pois gugolplex+1 ainda é maior, e muito menos é infinito. É um número finito, e, se tivermos paciência, poderemos certamente contar um gugolplex de rebuçados. Mas, e quanto tempo levaríamos a contá-los? Pensa um bocado... Cem anos? Mil anos?... Bom, façamos as contas. Supondo que conseguíamos contar 100 rebuçados por segundo (mais rápidos que um bólide de fórmula I), contaríamos

100 x 60 x 60 x 24 x 365 = 3153600000

rebuçados por ano. Ou seja, menos de 4000000000 = 4x10^9 rebuçados por ano. Em mil anos contaríamos menos de

4 x 10^9 x 10^3 = 4 x 1012

rebuçados (estamos ainda tão longe de um gugolplex de rebuçados que nem sequer chegámos a um gugol). Num milhão de anos (=10^6 anos), contaríamos 4x10^15 rebuçados; num bilião de anos (=10^12 anos), contaríamos 4x10^21 rebuçados; num trilião de anos (=10^18 anos), contaríamos 4x10^27 rebuçados. Desisto! Nunca conseguiríamos chegar ao fim... a nossa paciência esgotar-se-ia muito antes mesmo que fossemos o Superhomem ou tivessemos o dom da vida eterna. Se calhar isto é que é o infinito: contarmos até nos enjoarmos com tanto rebuçado! E repare-se que, como o nosso Universo tem uma idade estimada em cerca de 10^9 anos, se alguém tivesse começado a contar rebuçados no início do Universo e não tivesse feito mais nada, ainda hoje teria contado apenas cerca de 4x10^18 rebuçados...

Pensemos agora noutro problema: se quizéssemos guardar esses rebuçados num armazém com a forma de um cubo, que tamanho precisava de ter esse armazém? Vejamos: se 100 rebuçados couberem numa caixa com um centímetro cúbico (e é preciso que sejam rebuçados muito pequenos...), cabem

100x100x100x100 = 100 000 000 = 10^8

rebuçados numa caixa com um metro cúbico. E numa caixa com um quilómetro cúbico cabem

10^8x1000x1000x1000 = 10^17

rebuçados. Como o diâmetro da terra mede aproximadamente 12 753 kilómetros, um armazém cujo lado medisse o mesmo que o diâmetro da terra (um armazém gigantão!) poderia conter 10^17x12753 rebuçados, ou seja, menos de 2x10^21 rebuçados. Se o armazém tivesse um lado com a mesma medida da distância média da Terra ao Sol, ou seja, cerca de 15x10^7 kilómetros (que armazém monstruoso!), poderia conter 10^17x15x10^7 rebuçados, ou seja, menos de 2x10^25 rebuçados. Se o armazém tivesse um lado com a mesma medida do diâmetro da nossa galáxia, a Via Láctea, ou seja, cerca de 30 mil parsecs, equivalentes a 9252x10^14 kilómetros (quem consegue imaginar um armazém destes?), poderia conter 10^17x9252x10^14 rebuçados, ou seja, menos de 10^35 rebuçados. Nem sequer um gugol de rebuçados! Poderíamos continuar assim até chegar à conclusão de que não havia armazém que coubesse no Universo e pudesse conter todos os nossos micro- rebuçados.

Chegará isto para provar que o gugol e o gugolplex são números que ultrapassam a imaginação? Números que contam mais coisas do que aquelas em que poderemos pensar durante uma vida inteira? Mas não se esqueçam que são números finitos!

Podemos pôr ainda muitas outras questões do mesmo tipo relacionadas com números grandes, tais como: quantas gotas de chuva cairam desde o início da humanidade? Quantos grãos de areia existem na praia da Figueira da Foz? Quantas folhas de papel são necessárias para escrever um gugolplex por extenso? E quanto tempo levaríamos a escrever um gugolplex? Quantos átomos existem no sistema solar? Mais, ou menos que um gugol? Estas preocupações de contar coisas que dão origem a números inimagináveis é já antiga. Arquimedes, um sábio grego que viveu no século III A.C. escreveu um livro intitulado "O Calculador de areias" onde determinava o número de todos os grãos de areia que o universo poderia conter, mostrando assim que eram em número finito e não infinito como alguns diziam. Para poder fazer cálculos com números tão grandes teve até de inventar uma nova unidade, a octada, que valia 10^5. Deste modo estimou que haveria cerca de 10^52 grãos de areia no Universo.

Problema

Quantas páginas seriam necessárias para escrever um gugolplex por extenso, isto é, para escrever 1 seguido de um gugol de zeros? (Podes partir do princípio que seria possível escrever dez mil zeros numa só página).

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