Todos diferentes, todos iguais

Diferentes procedimentos matemáticos podem conduzir-nos ao mesmo objecto, mesmo que os caminhos tomados sejam consideravelmente diferentes. Vejamos este princípio com um exemplo.

1ª caminho diferente
Consideremos um triângulo como mostra a figura, onde iremos colocar números em cada quadrícula de modo que o número de uma dada quadrícula seja igual à soma dos número das duas quadrículas que estão imediatamente acima.

Na verdade, os números não nos vão interessar, apenas se são pares ou ímpares. Se forem ímpares, pintamos a quadrícula, se forem pares não fazemos nada. Sabemos ainda que todas as quadrículas dos bordos laterais são ímpares. Preenche o triângulo acima de modo a obteres um padrão. Se quiseres adiciona mais umas linhas para veres o padrão aparecer com mais nitidez.

2º caminho diferente
Considera um triângulo equilátero qualquer e une os pontos médios dos lados. Obténs quatro triângulos mais pequenos. Em cada um dos triângulos exteriores repete o procedimento (isto é, só não fazes mais nada no triângulo que está no meio). Em cada grupo de quatro triângulos que obtiveres, repete o procedimento nos três triângulos exteriores. Pinta os triângulos exteriores mais pequenos que obtiveste (isto é, com excepção dos centrais mais pequenos). Que padrão observas?

3º caminho diferente
Considera três quaisquer pontos do plano A, B e C. Marca numa folha de papel esses quatro pontos assim como um quarto ponto X1. Pega num dado normal e lança o dado. Se obtiveres 1 ou 4, une X1 com A e toma X2 como o ponto médio desse segmento. Se obtiveres 2 ou 5, une X1 com B e toma X2 como o ponto médio desse segmento. Se obtiveres 3 ou 6, une X1 com C e toma X2 como o ponto médio desse segmento. Retoma o processo a partir de X2. Vai assinalando sempre os pontos médios obtidos X3, X4, etc. Repete o procedimento uma boa vintena de vezes. Se tiveres um computador ou uma calculadora gráfica podes programá-los para eles te traçarem os pontos médios sucessivos. Que padrão observas?

Todos iguais
O padrão que aparece neste três procedimentos tão diferentes é conhecido como Triângulo de Sierpinski. Foi descoberto em 1917 pelo matemático polaco Waclaw Sierpinski. Tem várias propriedades curiosas como a de ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área igual a zero, e ser auto-semelhante (isto é, uma pequena porção do triângulo é idêntica ao triângulo todo a menos de uma escala adequada). Quem diria que seria possível obter a mesma figura por processos tão diferentes! Ainda por cima este padrão aparece em vários fenómenos naturais, como por exemplo a formação das conchas de certos seres marinhos.
Assim se vê a beleza e poder da Matemática.

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