Profmat 94

Leiria, 9-12 Novembro 1994
 
 

Questões tão importantes como a noção de função, de limite, de continuidade, de derivada, de integral, continuam a atormentar alunos e professores. Os primeiros não as entendem, os segundos não as conseguem fazer entender.

É reconhecida a importância do estudo destas noções para a grande maioria dos alunos, pois são ferramentas indispensáveis para dar uma interpretação matemática da variação de uma quantidade em função da outra. Muitos trabalhos que analisam aspectos gerais ou mais específicos vão sendo publicados nesta área, sendo de distinguir os que se integram no movimento designado por "Calculus Reform"(Reforma do Cálculo) nos Estados Unidos da América. Um pouco por todo o lado se reconhece que algo necessita ser feito pois a crueza dos resultados está à vista impondo o fracasso do ensino daquilo que se designa por Análise Matemática (ou Cálculo Diferencial e Integral), o que acontece tanto em Portugal como noutros países.

A "Mathematical Association of America" editou em 1993 uma série de 5 volumes intitulada "Resources for Calculus"(Roberts, 1993) cujo objectivo é disponibilizar materiais que os responsáveis possam utilizar no seu ensino de modo que se consigam atingir os seguintes objectivos: ´[criar] uma oportunidade para que os alunos descubram em vez de lhes ser dito tudo. (...) a disponibilidade de calculadoras e computadores não só exige exercícios que não se tornem triviais com o uso da tecnologia como impelem a atenção mais para as ideias do que para as técnicas. (..) devem existir explicações de aplicações do cálculo que sejam auto-contidas e que sejam tanto acessíveis como relevantes para os alunos. (...) os alunos devem fazer trabalhos escritos que obriguem a trabalho na biblioteca, alguma reflexão, alguma imaginação, e acima de tudo, uma conclusão escrita claramente argumentada. (...) devem estar disponíveis para os alunos algumas leituras colaterais que insiram o cálculo dentro de um contexto intelectual.ª

Esses cinco volumes têm os seguintes títulos:
 

1 - Aprendizagem pela descoberta: um manual de laboratório (laboratório com calculadoras ou computadores) para o Cálculo

2 - Problemas de Cálculo para um novo Século (referência curiosa ao facto de os nossos alunos de hoje irem ter a maioria da sua vida profissional num novo século: o século XXI)

3 - Aplicações do Cálculo

4 - Problemas para investigações de alunos

5 - Leituras para o Cálculo.
 

Este é apenas um dos muitos exemplos que se encontram de iniciativas com propostas inovadoras. Mas como integrar tudo isto no ensino do nosso dia-a-dia? E como reflectir isto num livro de texto? Esta questões coloco-as a mim próprio quando ensino Análise Matemática e, mais recentemente, quando resolvi elaborar um livro de texto.

Aqui irei discutir brevemente quais foram as opções que me levaram a escrever o livro que escrevi (na sequência das ideia expostas no trabalho (Silva, 1990) .), "Princípios de Análise Matemática Aplicada".

Primeiro que tudo é preciso saber qual a dimensão que deve ter o tema tratar. Se bem que várias pessoas tenham proposto que o tempo reservado ao ensino do Cálculo seja diminuído em favor da Matemática Discreta (como por exemplo acontece com o distinto matemático Anthony Ralston (Ralston, 1981) ), não me parece que isso venha a acontecer, pela razão já aflorada no início. Enquanto for necessário medir a variação de uma quantidade em relação a outra quantidade, serão necessárias as derivadas e as equações que contêm as funções desconhecidas, as equações diferenciais. Todas as áreas que têm a ver com as Equações Diferenciais têm aliás tido um enorme desenvolvimento nos últimos 20 anos (como a Análise Numérica, a Análise Funcional e a Análise Harmónica). Pelo que o tema deve ser tratado com um detalhe e uma extensão consideráveis.

A segunda questão é a do público a que se destina. Quais são as necessidades e expectativas dos alunos? Aqui podemos identificar três grandes grupos: os alunos dos cursos de matemática, os alunos de ciências, economia e engenharia, e os alunos de ciências humanas e sociais. Estes três grupos de alunos têm interesses e expectativas muito diferentes, pelo que dificilmente um mesmo livro de texto poderá interessar e motivar simultaneamente os três grupos de alunos de modo eficaz. Em face da minha experiência e da existência de livros em língua portuguesa, optei pelo segundo grupo, dirigindo-me sobretudo a alunos de ciências e engenharia.

De quanto Cálculo necessitam estes alunos? Muito, se atendermos às conclusões do relatório da OCDE de 1966 sobre a "Educação Matemática dos Engenheiros" e às conclusões de inúmeros congressos como por exemplo os que são relatados na revista "International Journal for Mathematical Education in Science and Technology". E de que tipo de Cálculo? Essencialmente, um ensino que faça com que os alunos saibam utilizar adequadamente os conceitos nos problemas que vão encontrar (tanto para aqueles que vão fazer investigação como para aqueles que terão de ler relatórios técnicos). Esse ensino terá de dar menos ênfase ao aspecto dedutivo e mais ênfase às ligações que existem entre os diversos conceitos. Como afirma Richard Courant no prefácio do seu livro de "Cálculo Diferencial e Integral"(Courant, 1963), o aluno espera "um livro que o conduza directamente ao âmago da matéria e o habilite a aplicá-la inteligentemente". Segundo Courant o aluno "recusa ser importunado pela prolixidade e enunciados gerais que nada lhe ensinam, e não tolera o pedantismo que não distingue o essencial do não essencial e que, por amor a um conjunto sistemático de axiomas, deliberadamente esconde os factos aos quais se deve o desenvolvimento da matéria."

Uma das primeiras opções no que diz respeito à escrita foi a preocupação de chegar rapidamente às Equações Diferenciais e ao Cálculo Integral. Citando novamente Richard Courant "evitei bloquear a entrada nas aplicações concretas do Cálculo Diferencial e Integral com a discussão da matéria fundamental para a qual ela ainda não está preparado." Essa discussão aparece apenas no capítulo VIII (conforme se pode observar no índice, reproduzido em apêndice), e de uma forma relativamente sumária. Existe uma ênfase considerável nas Equações Diferenciais que são novamente referidas no estudo das séries de potências (e numa futura edição pretendo ainda incluir dois capítulos com mais questões de Equações Diferenciais e Séries de Fourier).

Outra preocupação ligada com esta é que nenhum dos resultados matemáticos seleccionados pode ser considerado a mais. Se é verdade que entendo que um livro de texto deve ser suficientemente flexível para permitir diversas leituras, também nada do que é incluído deve parecer fazer parte de uma enciclopédia bolorenta e inútil. Todos os resultados são apresentados de uma forma que evidencia o seu interesse teórico ou prático ou a sua beleza intrínseca na forma como resolve ou esclarece um problema. Além do mais são feitas referências cruzadas "elucidando as interconexões e as finalidades do todo"(Courant, 1963). É por isso que o exemplo escolhido para encerrar o livro, a obtenção de um valor aproximado para o integral definido, , recorre não só à teoria explanada no último capítulo, mas ainda a questões discutidas em dois outros capítulos; além do mais é feita uma comparação com outros métodos de resolução do problema (e aqui não posso deixar de lembrar o capítulo sobre Cálculo Integral dos "Compêndios de Matemática" de José Sebastião e Silva tal como vem discutido em (Silva, 1977)).

Houve a preocupação de apresentar um assunto segundo mais do que um ponto de vista, de modo a que os diversos conceitos possam ser bem entendidos, um pouco na linha da "Regra de Três" de um dos projectos inovadores mais interessantes da área do Ensino do Cálculo(o "Calculus Consortium based at Harvard University" - ver (Gleason, 1993)): todo o assunto deve ser abordado de forma gráfica, numérica e analítica.

Como abordar as aplicações da matemática? A opção aqui tomada foi de incluir exemplos de aplicações simples e realistas sempre que adequado, de introduzir alguns assuntos de uma forma que revelasse o seu interesse no esclarecimento de questões concretas e de discutir de forma breve o tema da "Modelação Matemática". Na verdade, aquilo que cientistas e engenheiros irão fazer é construir modelos matemáticos que lhes permitam estudar as questões que se lhes deparam. Obviamente que precisam de conhecer bem essas ferramentas matemáticas para que saibam como e quando as poderão utilizar. Mas também precisam de dominar o processo de modelação matemática. Claro que numa iniciação ao Cálculo Diferencial e Integral nunca poderão ver completamente a modelação matemática em funcionamento; mas, por um lado, começam a ver como e porquê necessitam de tantos conceitos matemáticos, e por outro lado começam a contactar de uma forma elementar com o processo que mais tarde irá ser a base do seu envolvimento com a matemática. Por exemplo, o mesmo tema do crescimento populacional aparece sucessivamente tratado em três exemplos, com grau crescente de complexidade, nos parágrafos II.6, III.4 e III.6 (relativos à taxa de variação, às equações diferenciais e à modelação matemática - ver apêndice). A questão do uso das aplicações é fundamental, não só como elemento motivador para este tipo de alunos, como porque, como diz Courant, é preciso "demonstrar a estreita conexão que existe entre a análise e as suas aplicações e, sem perda de rigor e precisão, dar o devido crédito à intuição como fonte da verdade matemática". J. Marsden e A. Weinstein tomam mesmo como objectivo do seu texto "Calculus"(Marsden & Weinstein, 1980), "use calculus intelligently for solving a wide variety of mathematical and physical problems", e afirmam que "to enhance the student's understanding of the calculus, we emphasize the geometrical and physical side of the subject and include many applications to show how calculus can be used."

Como integrar a história da matemática? Resolvi incluir uma pequena introdução histórica que foca mais os problemas que o Cálculo pretende abordar do que a história desses problemas; isto para que o aluno veja que o livro pretende estudar matemática que ajuda a resolver problemas interessantes e que esses problemas constituíram uma preocupação que não data de agora. Ao longo do texto são feitas breves referências históricas sem preocupação de exaustividade; uma referência essencial é a de Anastácio da Cunha a propósito das séries numéricas, não só como uma questão de justiça (embora tardia) mas também porque se refere a uma participação portuguesa na história do Cálculo Diferencial e Integral (Silva & Duarte, 1990). Sem ser uma questão de chauvinismo, é uma forma de tornar mais interessante para alunos portugueses o contexto do livro.

Como encarar o desafio posto por calculadoras e computadores? A questão aqui é bastante complexa pois ainda não está de modo nenhum generalizado o uso de tecnologia a este nível (o primeiro ano da Universidade) em Portugal, pelo que será prematura uma grande integração do uso da tecnologia num livro de texto desta natureza. A opção foi de fazer referências ao longo do texto aos novos problemas postos pela tecnologia (no volume de exercícios alguns problemas farão apelo ao uso da tecnologia); por exemplo, no que diz respeito ao cálculo de primitivas, é referido que os computadores já são capazes de calcular de modo mais eficaz as primitivas que até há pouco tempo precisavam de ser calculadas laboriosamente à mão ou usando métodos aproximados; é ainda referido que muitas funções primitiváveis não têm primitiva calculável como soma finita de funções elementares, pelo que outros métodos devem ser utilizados (e estes métodos são discutidos ao longo do livro, tanto na parte do cálculo aproximado de integrais definidos como na parte do cálculo aproximado da soma de séries de potências). O aspecto do cálculo numérico é bastante realçado, lançando-se a ponte para o estudo da Análise Numérica.

Os alunos (e alguns professores) encaram frequentemente o livro de texto como algo a utilizar apenas em caso desesperado. Num inquérito a metade dos alunos inscritos num "grande" curso de Cálculo (350 alunos), David Bressoud concluiu que o alunos só recorrem ao livro de texto quando pretendem resolver um problema depois de tentarem lembrar-se de um semelhante e depois de consultarem os apontamentos da aula à procura de exemplos semelhantes, e mesmo assim só para procurar exercícios resolvidos idênticos (Bressoud, 1994).

Como estimular no aluno o interesse pela leitura do livro de texto e ao mesmo tempo incentivar nele o interesse por reflectir naquilo que leu, procurando resolver problemas para além dos rotineiros? A resposta que apresento no livro é a de separar completamente o livro de texto do livro de exercícios. O livro de texto é apresentado de uma forma que pretende ir de encontro aos interesses e expectativas dos estudantes, começando com alguns parágrafos introdutórios sobre o livro e o seu estudo. Cada capítulo é escrito de uma forma concisa e esclarecedora de modo que o aluno seja acompanhado na análise de cada conceito ou problema. Os exemplos existem apenas para melhor esclarecer o que é explicado no texto. As demonstrações são incluídas apenas se ajudam a esclarecer o conceito a que se referem. Existem ainda 12 quebra-cabeças com carácter sobretudo recreativo, mas que recorrem a alguns exemplos históricos de paradoxos e falácias que se referem ao tema do texto (e poderão ajudar a reflectir sobre o mesmo).

O livro de exercícios (ainda em fase de elaboração) conterá uma colecção de exercícios clássicos e outros que pretendem explorar os aspectos gráfico e numérico do Cálculo e suas aplicações. Contudo, incluirá ainda várias propostas de actividades teórico-práticas cujo objectivo é estimular um envolvimento maior da parte do aluno. Essas actividades poderão ter um carácter mais teórico (a soma de duas funções periódicas é sempre periódica?) ou mais ligado à modelação matemática (quais os melhores juros oferecidos pelos diversos bancos?) mas são sempre um conjunto de texto explicativo e pequenos exercícios cuja importância é claramente visível quando integrada no contexto da actividade.

Por último queria abordar o facto de um livro que se destina a um primeiro ano universitário dever ser devidamente articulado com o ensino secundário. Apesar de ser difícil estabelecer exactamente o que constituirá a versão real e final dos novos programas do ensino secundário, entendo que, pelo menos, os alunos deverão ter apreendido o essencial de
 

a) Regras da lógica matemática (incluindo negação de proposições e quantificação).

b) Conjuntos (intersecção, reunião, complementar, produto cartesiano).

c) Limites de funções (principais propriedades e regras operatórias).

d) Indeterminações (definição, levantamento de indeterminações em casos simples).

e) Continuidade (definição e principais propriedades).

f) Derivadas (definição, principais propriedades e regras de cálculo).

g) Progressões aritméticas e geométricas (definição, propriedades, soma de um número finito de termos).

h) Somatórios (notação).

i) Sucessões (sucessões convergentes e divergentes, limites e regras operatórias).

j) Geometria analítica (equação da recta e da circunferência; lugares geométricos; cónicas).

É consideravelmente inútil ensinar outra vez aquilo que os alunos deveriam ter já aprendido antes. Para os que já sabem é desmotivador, para os que não sabem corre-se o risco de continuar a ser insuficiente. É preferível que, para estes, sejam previstos esquemas de remediação. Sobrará mais tempo para ensinar coisas interessantes no Cálculo, para não se contar apenas metade da história.

A lista acima não significa que seja a lista ideal de pré-requisitos, mas apenas aquela que parece exequível nas condições actuais em Portugal; é pena que não exista uma lista precisa e fiável de conhecimentos que dê segurança à transição ensino secundário/ensino superior.

Como afirmo na introdução do livro, estou interessado em receber as opiniões de todos os leitores do livro, para que possa melhorá-lo substancialmente em futuras edições.
 
 

Referências

Bressoud, D. (1994). Student Attitudes in First-Semester Calculus. Focus, 14(3), 6-7.

Courant, R. (1963). Cálculo Diferencial e Integral (3ª imp. da 1ª ed.). Rio de Janeiro: Editora Globo.

Gleason, A. (1993). Calculus (Preliminary ed.). Reading: Addison-Wesley.

Marsden, J., & Weinstein, A. (1980). Calculus. Menlo Park: The Benjamijn/Cummings Pub. Co.

Ralston, A. (1981). The Decline of Calculus - The Rise of Discrete Mathematics. In L. A. Steen (Eds.), Mathematics Tomorrow (pp. 213-220). New York: Springer-Verlag.

Roberts, A. W. (1993). Resources for Calculus. Washington: M.A.A.

Silva, J. C. e. (1990). O Ensino da Análise Elementar. Coimbra: Dep. Matemática, Univ. Coimbra.

Silva, J. C. e., & Duarte, A. L. (1990). Os "Principios Mathematicos" de José Anastácio da Cunha. In Anastácio da Cunha, o matemático e o poeta (pp. 81-95). Lisboa: INCM.

Silva, J. S. e. (1977). Guia para a utilização do Compêndio de Matemática (2º e 3º vol). Lisboa: GEP.
 
 
 
 

Apêndice

Índice do livro "Princípios Fundamentais de Análise Matemática Aplicada"

os quês e os porquês

como estudar matemática

o que é a análise matemática

pequena história da análise matemática

o que é preciso recordar do ensino secundário

CAPÍTULO I funções