Pseudaria (5)
<<O poder que faz avançar a invenção matemática não é o raciocínio
mas a imaginação.>> A. De Morgan
<<Os fenómenos geométricos e mecânicos são os mais gerais, os mais simples, os mais abstractos de todos, -- os mais irredutíveis a outros. Segue-se que o estudo deles é um preliminar indispensável a todos os outros. Portanto a Matemática deve tomar o primeiro lugar na hierarquia das ciências, e ser o ponto de partida de toda a Educação, tanto geral como especial.>> A. Comte
Depois de ter enviado o texto anterior para publicação no " Jornal de Mathematica Elementar " recebi ainda outra solução para a falácia, da autoria de Paolo Nardini (Itália), o que muito agradeço. Reafirmo que este espaço é aberto a todas as pessoas interessadas pela Matemática. No presente número aparece a solução da falácia 4 e é proposta uma nova falácia, a 7. Continuaremos a aguardar que os leitores enviem soluções ou outros comentários às falácias que vão sendo apresentadas (incluindo sobre aquelas de que já foram apresentadas soluções).
Enunciado:
Consideremos dois círculos concêntricos. Suponhamos que o círculo maior completou uma volta, rolando sem escorregar, desde o ponto R até ao ponto S. A distância entre R e S é assim igual ao perímetro do círculo maior.
Mas o círculo menor, suposto colado ao círculo anterior, descreveu também uma volta. Assim a distância entre P e Q é igual ao perímetro do círculo menor. Uma vez que 
, conclui-se que os perímetros dos dois círculos são iguais .
Solução (enviada por Paolo Nardini, Liceo A. Vallisneri, Itália):
O círculo menor rola com o círculo maior, mas não pode rolar sem escorregar na recta PQ. Isto constitui a mais importante diferença entre os movimentos dos dois círculos. O maior rola sem escorregar na recta RS e o movimento do seu centro, que podemos supor rolar com velocidade constante, tem o mesmo comprimento do movimento do ponto em que em cada instante o círculo maior encontra a recta RS. Esta condição não é válida para o movimento do círculo menor, no que diz respeito à recta PQ, na qual ele rola escorregando; neste caso o movimento do centro do círculo menor (o mesmo do centro do círculo maior) não é igual ao movimento do ponto em que o círculo menor encontra a recta PQ. Assim, o segmento PQ não representa o movimento daquele ponto no intervalo de tempo em que o círculo descreve uma volta, isto é ele não representa o perímetro da circunferência menor.
Recebi também uma solução de Nuno Cardoso (Coimbra).
Nota: Esta falácia aparece referida no livro "Desafios 4" de Eduardo Veloso e José Paulo Viana (Edições Afrontamento, Porto, 1995) com o título "A roda de Aristóteles" onde é discutida alguma da história do problema, assim como as soluções propostas por Heron e Galileu.
Eis agora uma nova falácia para a qual solicito o envio de soluções:
Seja [ABC] um triângulo qualquer onde se supõe que o ângulo em B é o maior. Tracemos o segmento BD de modo que 
CBD = A. Tracemos a perpendicular BE relativamente ao lado AC.
Os dois triângulos [ABC] e [BDC] são semelhantes por terem os três ângulos iguais. Assim,
pelo que
isto é,
Num triângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois menos o dobro do produto de um deles pela projecção do outro sobre ele.
Assim,
e também
Substituindo estes valores na relação anteriormente obtida, vem
Simplificando obtém-se
ou
ou ainda
ou finalmente
Em conclusão: Uma parte de um segmento é igual ao todo .
Endereços para o envio de soluções:
endereço postal:
Departamento de Matemática
Universidade de Coimbra
Apartado 3008
3000 Coimbra
endereço electrónico: jaimecs@mat.uc.pt
endereço na WEB: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pseud/index.html
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