Álgebra Comutativa

2013/14

1º Semestre
Mestrado em Matemática

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David Hilbert

Avisos:
(18/10) Soluções do Teste 1.
(18/10) Enunciado do Teste 1.
(10/10) O primeiro teste realiza-se na aula do próximo dia 18 (sexta-feira).
(31/08) As aulas começam na segunda-feira dia 16.

Docente

 
	Jorge Picado
	Gabinete: 6.12
	Horário de Atendimento: quarta-feira: 15:00-17:00*
	telef.: 239791150
	e-mail: picado@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/~picado/

	* Ou outro dia e hora a combinar (no final da aula ou por e-mail)

Programa

A disciplina destina-se a uma introdução à teoria dos anéis comutativos e seus ideais, bem como à teoria dos módulos sobre anéis desse tipo.
Os pontos altos do programa são os teoremas de Hilbert (o da base e o dos zeros) e as suas aplicações elementares às variedades algébricas. 
    1. Anéis (revisitados).
   Divisibilidade e factorização prima.
   Domínios de factorização única e domínios euclidianos.
   Teoremas do isomorfismo para anéis. 
   
2. Módulos.
   Módulos sobre anéis. Independência linear. Produtos tensoriais.
   Módulos sobre domínios de integridade.
   Aplicações a grupos e matrizes: 
   Diagonalização de matrizes com entradas num d.i.p.
   Classificação de grupos abelianos de tipo finito.
   Forma canónica de Jordan.
   
3. Anéis e módulos comutativos.          
   Variedades algébricas.
   Módulos e Anéis Noetherianos. O Teorema da Base de Hilbert.
   Factorização de Ideais.
   Ideais Maximais e o Lema de Nakayama.
   O Teorema dos Zeros de Hilbert.
   Divisão de Polinómios.
   Bases de Grobner.
Pré-requisitos: Frequência das disciplinas de Álgebra Linear e Geometria Analítica, I e II Grupos e Simetrias Corpos e Equações Algébricas.
Os tópicos básicos exigidos são: noções básicas de grupos anéis e corpos; os anéis dos inteiros, dos inteiros módulo n, anéis de polinómios de uma e duas variáveis. Ideais principais, ideais primos e ideais maximais. Divisibilidade, a noção de domínio de integridade, de mdc e mmc.

Bibliografia

Principal:
R. L. Fernandes e M. Ricou, Introdução à Álgebra, IST Press, 2004 (20-01/FER, 20-01/FER/ex.2, 20/02/SL, 20/03/SL).
J. Picado, Apontamentos das aulas, DMUC 2012.

Secundária:
M. Atiyah & I. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Add. Wesley 1969 (13-01/ATI/ex. 2).
M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Math. Soc. Student Texts 12, Cambridge University Press, 1998-2001 (14-01/REI).
B. Hartley, T.O. Hawkes, Rings, Modules and Linear Algebra, Chapman and Hall, 1983 (13-01/HAR/Reimp. 1983).

Avaliação

Avaliação periódica: 2 testes de 1 hora e 1 frequência de 2h30m. Cada teste vale 15% da nota final, a frequência vale 70%.

Para classificações superiores a 16 valores haverá um exame complementar, escrito.

Datas dos testes: Primeiro teste:  18 de Outubro 
                  Segundo teste:   18 de Novembro

Data da frequência: 10 de Janeiro, 14.30.

Datas dos exames: Época de recurso:  30 de Janeiro, 14.30. 
                  Época especial:  25 de Julho, 09.00.