Álgebra II

2005/06

1º Semestre, 3º Ano
Licenciatura em Matemática

| Docente | Programa | Bibliografia | Avaliação | Apontamentos das Aulas |
| Sumários: teóricos, TP1, TP2 | Diversos (notas históricas, artigos, etc.) |

Evariste Galois

Novidades:
(17/02/06) Notas do exame de recurso.
(10/02/06) Resolução do exame (ficheiro pdf, dvi).
(10/02/06) Exame (ficheiro pdf, dvi).
(30/01/06) Notas do exame.
(18/01/06) Resolução do exame (ficheiro pdf, dvi).
(18/01/06) Exame (ficheiro pdf, dvi).
(13/01/06) Foram corrigidos alguns erros no ficheiro com as resoluções de exercícios.
(27/12/05) Resoluções de exercícios (ficheiro pdf, dvi).
(01/12/05) Notas dos testes.
(30/11/05) Soluções dos testes: 3B (ficheiro pdf, dvi), 3C (ficheiro pdf, dvi).
(30/11/05) Teste 3B (ficheiro pdf, dvi), Teste 3C (ficheiro pdf, dvi).
(28/11/05) Soluções do teste 3A (ficheiro pdf, dvi).
(28/11/05) Teste 3A (ficheiro pdf, dvi).
(21/11/05) O Teste 3 realizar-se-á nas aulas práticas dos dias 28 e 30 de Novembro.
(16/11/05) Aula suplementar: próxima quarta-feira (23 de Novembro). Teórica: 14.30-15.45. Prática: 16.00-17.30. (Sala 2.5)
(16/11/05) Na semana de 12 a 17 de Dezembro estarei ausente no estrangeiro (numa conferência).
(05/11/05) Soluções dos testes: 2A (ficheiro pdf, dvi), 2B (ficheiro pdf, dvi), 2C (ficheiro pdf, dvi).
(02/11/05) Teste 2C (ficheiro pdf, dvi).
(02/11/05) Teste 2B (ficheiro pdf, dvi).
(31/10/05) Teste 2A (ficheiro pdf, dvi).

Docente

 
	Jorge Picado
	Gabinete: 6.5
	Horário de Atendimento: Segunda-feira 14.30-17.30*
	telef.: 239791155
	e-mail: picado@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/~picado/

	* Ou outro dia e hora a combinar (no final da aula ou por e-mail)

Programa

    1. Anéis e corpos.
   Anéis, domínios de integridade e corpos. 
   Subanéis e ideais. Ideais principais.
   Anel quociente. Ideais primos e ideais maximais. 
   Homomorfismos de anéis. Característica. 
   
2. Anéis de polinómios.
   Polinómios. Anéis de polinómios. 
   Factorização: algoritmo da divisão, 
   polinómios irredutíveis, Teorema de Gauss 
   da factorização única.
   
3. Extensões de corpos. Elementos da teoria de Galois.          
   Extensões de corpos. Aplicações: construções 
   com régua e compasso, construção de polígonos regulares.
   Teoria de Galois. Aplicações: resolubilidade de 
   equações polinomiais por radicais.

4. Corpos finitos.
   Propriedades fundamentais. 
   Teorema da classificação (de Galois). 
   Teorema de Wedderburn. 
   Aplicações: teoria algébrica dos códigos.




«Antes de mais, deve observar-se que, hoje em dia, é aceite por toda a comunidade matemática a formulação conceptual, axiomática, da Álgebra. Mais do que isso, a metodologia algébrica é uma das ferramentas essenciais da Matemática. Por outro lado, depois de na segunda metade do século XX se ter assistido a uma abstracção sem paralelo na Matemática, mais recentemente, verificou-se um retorno a uma tradição nunca perdida: os desafios criados por problemas concretos, por vezes de natureza elementar, mas cuja solução requer métodos de extrema complexidade. O ensino da Álgebra deve, quanto a nós, reflectir este binómio abstracto-concreto. Como perguntava o grande matemático contemporâneo Vladimir Arnol’d, de que serve a um estudante saber o que é um anel local e as suas propriedades, se desconhecer o exemplo do anel das séries de potências?»

Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, Introdução à Álgebra,
IST Press, 2004


No desenvolvimento do programa seguir-se-à a recomendação de fundo expressa no programa mínimo da disciplina:

"... que se faça uma abordagem com um grau de abstracção algo apurado, de acordo com o facto de se tratar de uma disciplina do terceiro ano da licenciatura, mas sem esquecer que a álgebra pode apresentar-se com um olhar nas aplicações, que os seus temas, `clássicos', ou `modernos', foram e vão sendo originados por problemas concretos, e que alguns dos seus tópicos mais interessantes têm origem em questões complexas da geometria e da análise. Nesta perspectiva, deverá incluir-se no programa a resolução de problemas clássicos sobre as construções com régua e compasso, a resolução de equações através de radicais e diversas aplicações modernas da teoria dos corpos finitos à teoria dos códigos."

Bibliografia

J. Picado, Apontamentos de Álgebra II, 2005/2006

R. L. Fernandes e M. Ricou, Introdução à Álgebra, IST Press, 2004
A. Gonçalves, Introdução à Álgebra, IMPA, 1979 (13-01/GON)
M. Sobral, Álgebra, Universidade Aberta, 1996 (20-01/SOB) (20-01/SL)

A. Jones, S. Morris e K. Pearson, Abstract Algebra and Famous Impossibilities, Springer-Verlag, 1994 (12F/JON)
R. Lidl e H. Niederreiter, Introduction to Finite Fields and their Applications, Cambridge University Press, 2000 (12E/LID)
I. Stewart, Galois Theory, Chapman & Hall, 1973 (3a ed. 2004) (12F/STE)

Avaliação

Da avaliação constam:
1. 3 testes
2. exame final
3. prova complementar

Todos os alunos poderão participar nos testes, que se realizarão durante a aula teórico-prática. 
Cotação de cada teste: 1,25 valores. Cotação do exame: 20 valores. 

Nota final = max{ (16,25 / 20) nota exame + nota testes , nota exame } (arredondada às unidades)*
 

Datas dos testes: Primeiro teste:  final de Setembro
                  Segundo teste:   final de Outubro
                  Terceiro teste:  final de Novembro

Datas dos exames: Época normal:  18 de Janeiro de 2006 às 9 horas
                  Época de recurso:  10 de Fevereiro de 2006 às 14.30 horas.
 
* Defesa de nota, através de prova complementar, para os alunos que obtenham nota final superior a 15.