Corpos e equações algébricas

2018/19

2º Ano, 2º Semestre
Licenciatura em Matemática

Avisos:
(25/02) Resolução do teste: aqui.
(25/02) Enunciado do teste: aqui.
(04/02) Frequências e exames do ano passado: aqui.

Docente

	Jorge Picado
	Gabinete: 5.9
	Horário de Atendimento:  quarta-feira, 15:00-17:30*
	telef.: 239791150
	e-mail: picado@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/~picado/

	* Ou outro dia e hora a combinar (no final da aula ou por e-mail)

Programa

1. Anéis e corpos.
   Anéis, domínios de integridade e corpos. 
   Subanéis e ideais. Ideais principais.
   Anel quociente. Ideais primos e ideais maximais. 
   Homomorfismos de anéis. Característica. 
   
2. Anéis de polinómios.
   Polinómios. Anéis de polinómios. 
   Factorização: algoritmo da divisão, 
   polinómios irredutíveis, Teorema de Gauss 
   da factorização única.
   
3. Extensões de corpos. Elementos da teoria de Galois.          
   Extensões de corpos. Aplicações: construções 
   com régua e compasso, construção de polígonos regulares.
   Teoria de Galois. Aplicações: resolubilidade de 
   equações polinomiais por radicais.

4. Corpos finitos.
   Propriedades fundamentais. 
   Teorema da classificação (de Galois). 
   Aplicações: teoria algébrica dos códigos.

«Antes de mais, deve observar-se que, hoje em dia, é aceite por toda a comunidade matemática a formulação conceptual, axiomática, da Álgebra. Mais do que isso, a metodologia algébrica é uma das ferramentas essenciais da Matemática. Por outro lado, depois de na segunda metade do século XX se ter assistido a uma abstracção sem paralelo na Matemática, mais recentemente, verificou-se um retorno a uma tradição nunca perdida: os desafios criados por problemas concretos, por vezes de natureza elementar, mas cuja solução requer métodos de extrema complexidade. O ensino da Álgebra deve, quanto a nós, reflectir este binómio abstracto-concreto. Como perguntava o grande matemático contemporâneo Vladimir Arnol’d, de que serve a um estudante saber o que é um anel local e as suas propriedades, se desconhecer o exemplo do anel das séries de potências?»

Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, Introdução à Álgebra,
IST Press, 2004

Bibliografia

Principal:
J. Picado, Corpos e equações algébricas, Univ. Coimbra, 2009.
R. L. Fernandes e M. Ricou, Introdução à Álgebra, IST Press, 2004 (20-01/FER, 20-01/FER/ex.2, 20/02/SL, 20/03/SL).

Secundária:
A. Jones, S. Morris e K. Pearson, Abstract Algebra and Famous Impossibilities, Springer-Verlag, 1994 (12F/JON).
R. Lidl e H. Niederreiter, Introduction to Finite Fields and their Applications, Cambridge University Press, 2000 (12E/LID).
I. Stewart, Galois Theory, Chapman & Hall, 1973 (3a ed. 2004) (12F/STE).

Avaliação

Avaliação Contínua: 1 teste de 45m e duas frequências de 1h30m. O teste vale 4 valores e cada frequência 8 valores, 
havendo mínimos em cada prova (1 valor no teste e 2 valores em cada frequência).

Nota final: nota frequências + notas teste (arredondada às unidades)*

* Defesa de nota, através de prova complementar, para os alunos que obtenham nota final superior a 16.

De acordo com o regulamento interno do departamento, exige-se ao estudante a presença em pelo menos 75% das aulas para ter acesso à avaliação periódica.

Datas do teste e frequências:

Teste:  25 de Fevereiro (na aula)

Primeira frequência:  25 de Março (na aula)

Segunda frequência:  31 de Maio (na hora da aula)

Inscrições nas frequências - devem ser feitas, no InforEstudante, até 8 dias antes de cada prova.

Avaliação por Exame Final:

Exame (Época Recurso):  21 de Junho, 09:00

Exame (Época Especial):  17 de Julho, 14:00