Estruturas Ordenadas e Topologia

Estruturas Ordenadas e Topologia
Estruturas Ordenadas e Topologia

Mestrado em Matemática - 2001/2002

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Informações Gerais

Professor: Jorge Picado

Gabinete: 6.5
Telefone: 239791155
Fax: 239832568
E-mail: picado@mat.uc.pt

Programa:

Estruturas Ordenadas

Conjuntos parcialmente ordenados
Pré-ordens e topologias
Semireticulados e reticulados
Reticulados completos
Ideais e filtros
Modularidade e distributividade. O Teorema M₃-N₅
Álgebras de Heyting
Álgebras de Boole. Anéis de Boole. Teorema da representação de Boole.
Operadores de fecho e congruências para reticulados completos. Apresentação por geradores e relações.

Conceitos básicos de Teoria das Categorias

Categorias e functores
Transformações naturais
Adjunções; equivalências; dualidades
Subcategorias reflectivas

Aspectos algébricos da Topologia

A influência na matemática moderna do trabalho pioneiro de Stone
A dualidade de Stone
A dualidade de Priestley

Topologia sem pontos

Reticulados locais e locales
Parentes, por adjunção, dos reticulados locais: semireticulados, reticulados distributivos e espaços topológicos
Pontos de um locale; espacialidade; espaços sóbrios. A equivalência de locales espaciais e espaços sóbrios
Locales compactos, regulares e normais. Compactificações. A compactificação de Stone-Cech
Teorema de Tychonoff
Vantagens relativamente à abordagem clássica

Pré-requisitos: Supõem-se os alunos familiarizados com conceitos elementares de Teoria dos Reticulados (conj. parcialmente ordenados; semireticulados; reticulados completos; ideais e filtros; operadores de fecho e congruências) e Topologia (espaços topológicos compactos, regulares, completamente regulares e normais; Teorema de Tychonoff).

Aulas: de 25 de Fevereiro a 15 de Junho de 2002

Horário das aulas: segunda-feira, 14h00-17h00, na Sala 4.2

Horário de atendimento: terças e quintas, 11h30-13h00, no Gabinete 6.5

Data do exame final: a combinar no período de 2 a 13/Jul/2002, na Sala 5.3

Data do exame de recurso: a combinar no período de 17/Set/2002 a 4/Out/2002, na Sala 5.3

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Bibliografia

Além dos apontamentos distribuídos aos alunos (contendo a matéria versada na aula e alguns textos complementares de apoio) recomendamos os seguintes livros:

P. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982. (cota na Biblioteca do DMUC: 54F/JOH)
S. Vickers, Topology via Logic, Cambridge University Press, 1989.
S. Mac Lane e I. Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic : a First Introduction to Topos Theory, Springer, 1992. (cota na Biblioteca do DMUC: 03G/MAC)
G. Birkhoff, Lattice Theory, AMS, 1948. (cota na Biblioteca do DMUC: 06-06/BIR)
B. Davey e H. Priestley, Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, 1992.
S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, Springer, 1998. (cota na Biblioteca do DMUC: 18A/MAC/2ºed)
F. Borceux, Handbook of Categorical Algebra, Cambridge University Press, 1994. (cota na Biblioteca do DMUC: 18-01/BOR)
P. Johnstone, Notes on Logic and Set Theory, Cambridge University Press, 1987.
R. Engelking, General Topology, Heldermann, 1989. (cota na Biblioteca do DMUC: 54-01/ENG.Gen)

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Trabalhos para Casa

Ao longo do curso serão distribuídos (no final da aula) 4 trabalhos para casa. Cada um destes trabalhos consiste numa lista de 2 ou 3 problemas que têm que ser resolvidos individualmente pelos alunos e entregues ao professor impreterivelmente até às 17h00m da data de entrega (segunda-feira, 2 semanas após a distribuição).

Cada trabalho tem um peso de 5% na avaliação.

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Avaliação

4 trabalhos para casa (notas: TPC1,...,TPC4)
Exame final
Nota Final = 0.05 x (TPC1+TPC2+TPC3+TPC4) + 0.8 x Exame

Resultados Finais

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