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MARIA
F. BRILHANTE, Departamento de Matemática,
Universidade dos Açores
EXPONENCIALIDADE
VERSUS PARETO GENERALIZADA - UM TESTE ROBUSTO
RESUMO
A importância da distribuição Pareto Generalizada
na análise de valores extremos tem levado alguns estatísticos
a propor testes para inferir sobre o parâmetro de forma b
da parametrização de von-Mises-Jenkinson da distribuição.
Todavia os testes propostos apresentam limite de ruptura zero (cf.
Hampel [4] e Hoaglin et al. [5]).
Recorrendo a
métodos resistentes e robustos propõe-se a estatística
T_n = (F_U-M)/(M-F_L), com limite de ruptura aproximadamente igual
a 0.25, para testar exponencialidade (i.e. b = 0) versus Pareto
Generalizada, onde F_U, M e F_L são, respectivamente, o quarto
superior, a mediana e o quarto inferior de uma amostra aleatória
de dimensão n. Refira-se que T_n foi "inspirada"
na estatística V_n =
(X_{n:n}-M)/(M-X_{1:n})
que foi usada por Gomes [1] para discriminar modelos extremais num
contexto similar.
A potência
do teste baseado em T_n será comparada com a dos testes baseados
nas estatísticas U_n = X_{n:n}/ M e V_n. Também será
comparada a performance de T_n, U_n e V_n em situações
ampliadas e de mistura por forma a avaliar a robustez do teste proposto.
[1]
M. I. Gomes, A note on statistical choice of extremal models,
Actas IX Jornadas Mat. Hispano-Lusas, Salamanca, (1982) 653-655.
[2]
M. I. Gomes e M. A. J. van Monfort, Exponentiality versus
generalized Pareto - Quick tests, Statistical Climatology 87 (1987) 185-195.
[3]
A. C. Davison e D. V. Hinkley, Bootstrap Methods and Their
Application, Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
[4]
F. R. Hampel, A general qualitative definition of robustness,
Annals of Mathematical Statistics 42 (1971) 1887-1896.
[5]
D. C. Hoaglin, F. Mosteller, e J. W. Tukey,
Understanding Robust and Exploratory Data Analysis, John Wiley &
Sons, New York, 1983.
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MARIA
JOÃO MARTINS, Departamento Matemática,
Instituto Superior Agronomia
A
METODOLOGIA JACKKNIFE NA ESTIMAÇÃO DO ÍNDICE
DE CAUDA
RESUMO
A metodologia jackknife clássico de Quenouille/Tukey ([8]
e [10]) constitui, assim como o bootstrap [1], uma ferramenta baseada
na reamostragem dos elementos de uma amostra (concretização
de uma amostra aleatória), para a obtenção
aproximada de propriedades de estimadores. Estas ferramentas são
muito úteis quando não é conhecida a distribuição
exacta dos estimadores.
A Teoria de
Valores Extremos fornece ferramentas para o estudo de fenómenos
ou acontecimentos raros. A análise de valores extremos é
baseada nas distribuições limite de valores extremos
introduzidas por Fisher e Tippet [2] e unificadas por von Mises
[7]. O modelo unificado de von Mises depende de um parâmetro
g, designado índice de valores extremos ou índice
de cauda. A estimação semiparamétrica de g
depende da escolha de um nível elevado que constitui um parâmetro
perturbador já que, para uma classe importante de estimadores
de g, o viés aumenta e a variância diminui com a diminuição
do nível. O desenvolvimento de estimadores alternativos com
viés reduzido reveste-se de grande importância, já
que idealmente permite obter estimadores com menor erro quadrático
médio no nível óptimo assim como com menor
dependência no nível. A redução de viés
pode ser feita recorrendo à metodologia jackknife clássico
ou, de forma mais eficiente, através da metodologia jackknife
generalizado, introduzida por Shucany, Gray e Owen ([9] e [6]).
A utilização
da metodologia jackknife na construção de estimadores
de acontecimentos raros com viés (e erro quadrático
médio) reduzido foi sugerida por Gomes [3] e desenvolvida
por Gomes, Martins e Neves ([5] e [4]).
[1]
B. Efron, Bootstrap methods: Another look at the jackknife,
Ann. Statist 7 (1979) 1-26.
[2]
R. A. Fisher e L. H. C. Tippet, Limiting forms of the frequency
distribution in the largest particle size and smallest member of a sample,
Proc. Cambridge Philos. Soc. 24 (1928) 180-190.
[3]
M. I. Gomes, Metodologias jackknife e bootstrap em estatística
de extremos, Actas do II Congresso da Sociedade Portuguesa de Estatística,
Luso, Portugal (1994) 31-46.
[4]
M. I. Gomes e M. J. Martins, Generalized jackknife estimators of the
tail index based on the estimation of the second order parameter,
Notas e Comunicações 9/2001, CEAUL (submetido).
[5]
M. I. Gomes, M. J. Martins e M. Neves, Alternatives to a
semi-parametric estimator of parameters of rare events-the jackknife
methodology, Extremes 3 (2000) 207-229.
[6]
H. L. Gray e W. R. Schucany, The Generalized Jackknife Statistic,
Marcel Dekker Inc., New York, 1972.
[7]
R. Von Mises, La distribuition de la plus grande de n valeurs,
Rev. Math. Union Interbalcanique 1 (1936) 141-160, Repr. em Selected Papers
of Richard von Mises, Amer. Soc. 2 (1964) 271-294.
[8]
B. Quenouille, Approximation tests of correlation in time series,
J. R. Statist. Soc. B 11 (1949) 18-84.
[9]
W. R. Shucany, H. L. Gray e D. B. Owen, On bias reduction in
estimation, J. Amer. Statist. Assoc. 66 (1971) 524-533.
[10]
J. Tukey, Bias and confidence in not quite large samples,
Ann. Math. Statist. 29 (1958) 614.
Trabalho conjunto com:
Maria Ivette Gomes (Departamento de Estatística e Investigação Operacional, FCUL)
e Maria Manuela Neves (Departamento Matemática, Instituto Superior Agronomia).
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MANUEL
CABRAL M. A. PACHECO,
Departamento de Matemática, IST
ORDENAÇÃO
ESTOCÁSTICA NA AVALIAÇÃO DO IMPACTO DA AUTOCORRELAÇÃO
EM ESQUEMAS DE CONTROLO DE QUALIDADE
RESUMO
A detecção de desvios do valor esperado de dados autocorrelacionados
pode ser efectuada através do registo dos resíduos
dos dados naquilo que habitualmente se designa de esquemas de controlo
residuais.
Subjacente à
análise destes e doutros esquemas, está aquela que
é, indiscutivelmente, a mais popular de todas as medidas
de desempenho, o "run length" (RL) ou o número
de amostras recolhidas até à emissão de um
sinal. O conhecimento da respectiva distribuição desempenha
um papel preponderante na avaliação da capacidade
dos esquemas de controlo para assegurar a qualidade de um processo
bem como do impacto da autocorrelação no desempenho
dos esquemas residuais.
Não surpreende
pois que nos sintamos compelidos a comparar características
que digam respeito aos RLs de tais esquemas,
como: o "average run length" (ARL), de longe a medida
de desempenho mais utilizada na literatura; ou a função
de sobrevivência do RL e a função taxa de falha
do RL.
Ao efectuar
uma comparação com o figurino descrito acima está-se,
inevitavelmente, a estabelecer uma relação de ordem
estocástica entre desempenhos. Uma relação
de ordem deste tipo permite avaliar - de um modo qualitativo e mais
objectivo - a forma como a capacidade de detecção
de um esquema se altera face a modificações nos parâmetros
de planeamento e intrínsecos ao modelo dos dados.
Neste trabalho
avalia-se a influência do parâmetro autoregressivo na
velocidade de detecção de esquemas residuais para
o valor esperado de processos estacionários gaussianos AR(1).
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HELENA
FERREIRA, Departamento de Matemática, Universidade
da Beira Interior
COMPARAÇÃO
DE EXTREMOS LOCAIS
RESUMO
Para uma sucessão de variáveis aleatórias identicamente
distribuídas, verificando uma condição de independência
assintótica de extremos sobre intervalos disjuntos, apresentamos
um lema de comparação de extremos locais que nos permite
obter a distribuição assintótica da localização
das s (s => 1 fixo) maiores estatísticas ordinais.
Obtemos, deste
modo, uma aproximação para a probabilidade de serem
preservados os s maiores valores numa amostra censurada uni ou bilateralmente.
Em particular, concluimos que a localização do máximo
é assintoticamente uniforme, tal como acontece para variáveis
independentes e identicamente distribuídas.
O lema de comparação
de extremos locais permite também avaliar, em probabilidade
e assintoticamente, o tempo entre a ocorrência da primeira
excedência de um nível elevado e a ocorrência
do máximo.
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DINIS
DUARTE PESTANA, Departamento de Estatística e Investigação
Operacional, FCUL
DENSIDADES
DEFINIDAS POSITIVAS
Resumo em
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Resumo em ps
Trabalho conjunto com:
Fernando Sequeira (Departamento de Estatística e Investigação
Operacional, FCUL) e
Sílvio Filipe Velosa (Departamento de Matemática,
Universidade da Madeira).
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CARLOS
TENREIRO, Departamento de Matemática, FCTUC
ESTIMAÇÃO
NÃO-PARAMÉTRICA DA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO:
EDF vs AKDF e AKDF vs AKDF
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