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LUÍS
SANCHEZ, Departamento de Matemática, FCUL
HETEROCLÍNICAS
NUMA CLASSE DE EQUAÇÕES CONSERVATIVAS DE 4ª ORDEM
Resumo em
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Resumo em ps
Trabalho conjunto
com:
P. Habets (Institut de
Mathématique Pure et Appliquée, Louvain-la-Neuve),
M. Tarallo (Università degli Studi di Milano)
e S. Terracini (Politecnico di Milano).
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JORGE
ROCHA, Departamento de Matemática Pura, FCUP
CONJUNTOS
ROBUSTAMENTE TRASITIVOS E CICLOS HETERODIMENSIONAIS
RESUMO
É conhecido que os conjuntos não hiperbólicos
e robustamente transitivos admitem uma decomposição dominada para o
fibrado tangente e que, genericamente, contêm pontos periódicos
hiperbólicos de índices diferentes. Num trabalho conjunto
com Christian Bonatti, Lorenzo Díaz e Enrique Pujals mostra-se que,
para um conjunto C^1 aberto e denso de difeomorfismos, os índices
dos pontos periódicos hiperbólicos de um conjunto robustamente
transitivo formam um intervalo em N. Mostra-se também que,
para um conjunto C^1 aberto e denso de difeomorfismos que estão
longe de tangências, as classes homoclínicas relativas de pontos
periódicos hiperbólicos que pertencem a um mesmo conjunto
robustamente transitivo são robustamente
iguais. Finalmente uma análise da estrutura da decomposição
dominada associada a um conjunto robustamente transitivo permite descrever
a natureza das tangências homoclínicas que podem ocorrer.
Das várias técnicas utilizadas para obter estes resultados salienta-se
o "Connecting Lemma" de Hayashi e resultados prévios sobre o
desdobramento de ciclos heterodimensionais obtidos anteriormente por dois
dos autores.
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FERNANDO
COSTA, Departamento de Matemática, IST
UM
SISTEMA DE COAGULAÇÃO BASEADO NAS REGRAS DE HORTON-STRAHLER
DE REDES FLUVIAIS
RESUMO
Nos últimos anos têm surgido numerosos estudos matemáticos
dedicados à investigação de problemas cinéticos
e de transições de fase em sistemas de aglomerados
descritos por equações de coagulação-fragmentação.
Na maioria destes estudos, os aglomerados são identificados
por um número positivo (inteiro ou real) que representa a
sua "massa" ou "tamanho". No entanto, existem
outras situações em que um único parâmetro
é insuficiente para descrever a população de
agregados, nomeadamente em certos problemas de polimerização
e na descrição de morfologias alternativas dos agregados.
Uma outra situação que surgiu recentemente na literatura
é o caso em que a descrição dos agregados envolve
dois parâmetros: a sua "massa" j e a sua "ordem"
i, esta última obedecendo às regras de Horton-Strahler,
introduzidas inicialmente em meados do século passado no
contexto de estudos de redes fluviais e que se revelaram importantes
em diversas outra áreas, desde a biologia à teoria
da computação e à teoria dos grafos.
Nesta comunicação
começaremos por relembrar as regras de Horton-Strahler e
apresentar o sistema de equações diferenciais ordinárias
que descreve a evolução temporal da concentração
de agregados de massa j e ordem i, c_{i,j}(t). Referiremos brevemente
o problema de existência e unicidade mas centraremos a nossa
atenção nos resultados sobre o comportamento assimptótico
de soluções. Mostraremos que, sob condições
bastantes gerais, se tem c_{i,j}(t) --> 0 quando t --> oo.
A demonstração utiliza desigualdades diferenciais
e o comportamento de duas famílias de funções
de Lyapunov fisicamente naturais. Finalizaremos com a referência
a resultados sobre o comportamento de quantidades (mesoscópicas)
fisicamente relevantes, N_i(t), obtidas a partir das variáveis
(microscópicas) c_{i,j}(t), e com alguns problemas em aberto.
Trabalho conjunto
com: M. Grinfeld (University of Strathclyde, Glasgow)
e J. Wattis (University of Nottingham).
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CARLOS
ROCHA, Departamento de Matemática, IST
ATRACTORES DE SISTEMAS DINÂMICOS
GERADOS POR PROBLEMAS DE REACÇÃO-DIFUSÃO SINGULARES
RESUMO
Os sistemas dinâmicos de dimensão infinita gerados
por equações de reacção-difusão
singulares da forma u_t = eps u_xx+ f(x,u,u_x), 0 < x < 1
com condições de fronteira adequadas, têm um
comportamento dinâmico bem conhecido. O balanço entre
os termos de reacção f = f(x,u,u_x) que tendem a criar
soluções não homogéneas (também
conhecidas por
padrões) e os termos de difusão eps u_xx que tendem
a homogeneizar espacialmente as soluções (eliminando
os padrões), cria forçosamente dinâmicas de
bifurcação interessantes. Neste seminário discute-se
o papel da dependência de f na variável espacial x
e no termo de convecção u_x na dinâmica do problema
singular. Em particular, é considerado o comportamento da
dimensão do atractor A_eps quando eps --> 0. Genericamente
na classe das funções sem dependência nos termos
de convecção, o comportamento é ilimitado,
dim A_eps --> +oo, enquanto que em classes de funções
com dependência de termos de convecção este
tipo de comportamento é excepcional.
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TERESA
FARIA, Departamento de Matemática, FCUL
ADJUNTAS
FORMAIS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS FUNCIONAIS LINEARES
EM ESPAÇOS DE BANACH
RESUMO
Para uma equação diferencial ordinária (EDO)
linear x' = Ax, onde A é uma matriz n×n de constantes,
os espacos central, estável e instável desempenham
um papel fundamental na determinação da sua estabilidade,
bem como no estudo da estabilidade estrutural ou análise
de bifurcações para pequenas perturbações
do sistema.
Quando se consideram
equações diferenciais funcionais (EDFs) em Rn (do
tipo retardado), para as quais o espaço de fase é
agora um espaço de funções contínuas,
resultados análogos foram estabelecidos por Hale no início
da década de 70, tendo por base o estudo de equações
características de EDFs lineares e a chamada <I>teoria
adjunta formal</I>. Através da definição
de uma equação adjunta e de uma dualidade formais,
o espaço de fase é decomposto na soma directa de dois
espaços invariantes para a EDF linear em estudo, onde um
é o espaço próprio generalizado associado a
um conjunto finito Lambda de valores próprios e o outro é
o espaço "ortogonal" (para a dualidade formal)
ao espaço próprio generalizado associado a Lambda
para a equação adjunta.
Em literatura
recente, algumas extensões desta teoria têm sido obtidas
para EDFs lineares em espaços de Banach, mas impondo hipóteses
bastante fortes, o que limita a sua aplicabilidade a modelos concretos,
nomeadamente a equações de reaccão-difusão
com atrasos. Estas equações têm vindo a ser
adoptadas como modelos em dinâmica de populações,
quando tanto atrasos no tempo como difusão espacial estão
envolvidos.
Neste seminário,
impondo hipóteses bastante mais fracas do que as usuais,
apresenta-se uma teoria adjunta formal completa para EDFs lineares
em espaços de Banach, estendendo os resultados clássicos
para EDOs em Rn e para EDFs em Rn.
Trabalho
conjunto com: W. Huang (University of Alabama, USA)
e J. Wu (York University, Canada).
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ALBERTO
PINTO, Departamento de Matemática Aplicada,
FCUP
A
FRONTEIRA ENTRE O CAOS E A ORDEM
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