O DMUC oferece um novo Mestrado em Matemática, em que se
destacam:
Temas de investigação: Álgebra, Análise, Análise Numérica, Ciências da Computação, Geometria, Optimização e Probabilidades e Estatística.
Horário - As aulas do Mestrado em Matemática decorrerão à segunda e terça-feira.
Calendário de exames
| Disciplina | Época normal | Época de recurso |
| Matemática Financeira | 1 de Julho de 2005, às 14h30m | 21 de Julho de 2005, às 14h30m |
| Métodos Matemáticos da Engenharia | 27 de Junho de 2005 | 18 de Julho de 2005 |
| Simulação Numérica de Modelos | 17 de Junho de 2005, às 9h | 15 de Julho de 2005, às 9h |
| Teoria do Risco | 20 de Junho de 2005, às 14h30m | 11 de Julho de 2005, às 14h30m |
Disciplinas do Curso de Especialização
| Primeiro semestre | Segundo semestre |
|
OPÇÕES A Amostragem e Sondagens Computação Paralela Equações com Derivadas Parciais Geometria Simpléctica Lógica Avançada Métodos Matemáticos da Biologia Representações de Grupos Séries Temporais Teoria da Optimização OPÇÕES B (comuns ao 4º ano da licenciatura) Análise de Fourier e Espaços Funcionais Processos Estocásticos e Filas de Espera Teoria das Variedades I |
OPÇÕES A Álgebras e Grupos de Lie Computabilidade e Complexidade Matemática Financeira Modelos Matemáticos da Engenharia Programação Funcional Simulação Numérica de Modelos Teoria de Galois sobre Anéis Teoria do Risco Teoria Geométrica do Controlo OPÇÕES B (comuns ao 4º ano da licenciatura) Optimização Discreta Programação Não-Linear Programação Orientada para Objectos Teoria das Categorias Topologia Algébrica |
No curso de especialização, que funciona no primeiro ano, o aluno deverá obter 16 créditos correspondentes à aprovação em 4 (quatro) das 26 (vinte e seis) disciplinas oferecidas. Normalmente, cada aluno frequenta duas disciplinas em cada semestre sendo, no entanto, possíveis outras alternativas quanto ao número de disciplinas por semestre.
A escolha do percurso curricular é determinada de acordo com as opções de cada aluno, com aconselhamento da Comissão de Estudos Pós-Graduados, à qual compete aprovar cada trajecto individual.
O segundo ano é integralmente dedicado à elaboração da dissertação.
Programas resumidos das disciplinas:
Primeiro semestre
OPÇÕES A
Amostragem e Sondagens
Técnicas de amostragem (aleatória simples, estratificada, por grupos, por etapas). Estimação de parâmetros em cada caso. Sondagens.
Computação Paralela
I - Linguagens de Programação e ambiente Unix. Breve descrição da linguagem Fortran 90/95 (módulos, "operator overloading", pointers) e do ambiente Unix ("scripts" e "makefiles"). II - Programação Paralela. A necessidade de programação paralela. Modelos de programação: "data parallelism", "shared memory", "message passing". Máquinas "Multiple Instruction Multiple Data" (MIMD) e "Single Instruction Multiple Data" (SIMD). A GRID. O "cluster" do Centro de Física Computacional. Open MP, "Parallel Virtual Machine" (PVM) e a "biblioteca Message Passing Interface" (MPI).
III - MPI. Descrição da biblioteca MPI. Exemplos utilizados na aprendizagem da programação paralelas: medição dos tempos de comunicação; cálculo do PI; método de Monte Carlo; resolução da equação de Poisson; o problema de N corpos; mecânica de fluidos.
IV - Livrarias Paralelas
Equações com Derivadas Parciais
EDP's lineares elípticas de segunda ordem (existência; regularidade; princípios do máximo e desigualdade de Harnack; teoria de De Giorgi-Nash-Moser). EDP's lineares de evolução. Teoria dos semigrupos lineares.
Tópicos de EDP's não-lineares: cálculo das variações; métodos de monotonia e do ponto fixo.
Geometria Simpléctica
Variedades simplécticas. Campos de vectores hamiltonianos. Acções simplécticas e hamiltonianas. Teorema de Noether. Redução de variedades simplécticas. Teorema de Marsden-Weinstein. Variedades de Poisson. Morfismos e automorfismos infinitesimais de Poisson. Estrutura local de folheação simpléctica de uma variedade de Poisson.
Lógica Avançada
Introdução histórica. Quatro temas da lógica moderna: teorias dos conjuntos, dos modelos, da recursão e da demonstração. Sintaxe e semântica, completude, Aritmética, teoremas de Goedel, aplicações.
Métodos Matemáticos da Biologia
O curso inclui o estudo analítico e a simulação numérica de um conjunto de modelos matemáticos entre os quais
destacamos os relativos a: Dinâmica de Populações; Propagação de Doenças Infecciosas; Genética e Evolução;
Biologia Celular e Molecular.
Representações de Grupos
Grupos e módulos. Representações matriciais e lineares de grupos; a álgebra de grupo; Teorema de Maschke.Módulos semi-simples; Teorema de Wedderburn e álgebras semi-simples.
Produtos tensoriais e técnicas de construção de representações.
Teoria geral de caracteres. Caracteres sobre C de grupos finitos; relações de ortogonalidade; subgrupos normais e tabelas de caracteres; caracteres induzidos. Teorema p^aq^b de Burnside.
Séries Temporais
Modelações lineares (auto-regressivas e médias móveis): análise probabilista, estatística e previsão. Introdução ao estudo da modelações não lineares (bilineares e condicionalmente heteroscedásticas).
Teoria da Optimização
Teoria poliedral (caracterizações, estrutura facial). Integralidade (unimodularidade, invólucro inteiro). Conjuntos convexos (interior relativo, polaridade, separação). Funções convexas (caracterizações diferencial e subdiferencial). Condições necessárias e suficientes de optimalidade, qualificações de restrições e dualidade. Introdução à análise de Pareto.
OPÇÕES B (comuns ao 4º ano da licenciatura)
Análise de Fourier e Espaços Funcionais
I- Alguns conceitos de Medida e Integração. II- Espaços Funcionais. III- Distribuições. IV- Séries de Fourier. V- Transformadas de Fourier (de funções e distribuições). VI- Espaços de Sobolev.
Processos Estocásticos e Filas de Espera
Introdução à teoria dos processos estocásticos: processos estocásticos de 2ª ordem; processos estocásticos estacionários; processos de incrementos independentes e estacionários.
Cadeias de Markov de tempo discreto.
Cadeias de Markov de tempo contínuo com aplicação à teoria das filas de espera.
Introdução à teoria das filas de espera: modelos Poissonianos; breve referência a sistemas não Poissonianos.
Teoria das Variedades I
Variedades Diferenciáveis. Fibrados tangente e cotangente. Morfismos. Subvariedades. Álgebra de Lie dos campos de vectores. Rudimentos de álgebra exterior. Derivação de Lie. Fibrados Tensoriais.
Segundo semestre
OPÇÕES A
Álgebras e Grupos de Lie
Álgebras de Lie. Conceitos gerais. Álgebra envolvente universal. Álgebras de Lie solúveis, nilpotentes e semi-simples. Decomposição de uma álgebra de Lie semi-simples em subespaços raiz e sua classificação. Representações e subespaços peso.
Grupos de Lie. Definição e exemplos. Álgebra de Lie de um grupo de Lie. Subálgebras de Lie e subgrupos de Lie. Aplicação exponencial. Acções de grupos de Lie.
Computabilidade e Complexidade
Funções recursivas. Modelos de Computação. Máquina universal de Turing. Problema da paragem. Tese de Church. Classes de complexidade computacional
(tempo/espaço). Caracterizações implícitas.
Matemática Financeira
A matemática dos derivados financeiros (modelo do preço de um activo financeiro; modelo de Black-Scholes para opções europeias; opções americanas; modelos de taxas de juro; métodos binomiais). A matemática da selecção de carteiras (modelos associados a medidas de risco).
Modelos Matemáticos da Engenharia
Mecânica dos Fluidos (equações de Navier-Stokes; aplicações em Geofísica).
Mecânica dos Sólidos (problemas de cascas, placas e vigas).
Programação Funcional
Conceitos Fundamentais; Tipos de dados simples; Listas; Árvores; Tipos
Abstractos de Dados e Módulos; Eficiência; Listas infinitas; Monades.
Simulação Numérica de Modelos
Aplicação dos modelos numéricos com equações diferenciais ordinárias e com derivadas parciais, na resolução numérica de modelos matemáticos que surgem nas Ciências e nas Engenharias (Biologia, Ambiente, Indústria, etc).
Teoria de Galois sobre Anéis
I. Teoria de Galois sobre corpos: o Teorema de Galois clássico e o Teorema de Galois de Grothendieck; teoremas de Galois de dimensão infinita.
II. Teoria de Galois sobre anéis: grupóides profinitos; teoria da descida para anéis; espectro de Pierce de um anel; Teorema de Galois para anéis.
Teoria do Risco
O processo de risco. Modelo de risco colectivo. Princípios de cálculo do prémio. Ruína. Credibilidade. Aplicações da teoria do risco a problemas de seguros.
Teoria Geométrica do Controlo
Estudo da teoria qualitativa dos sistemas de controlo não lineares. Tópicos a abordar: sistemas de controlo não lineares, órbitas de famílias de campos de vectores, conjuntos atingíveis, acessibilidade e controlabilidade, equivalência de sistemas de controlo, controlo óptimo, observabilidade.
OPÇÕES B (comuns ao 4º ano da licenciatura)
Optimização Discreta
I - Formulações algébricas de problemas de Optimização Discreta. II - Relaxações (lineares, combinatórias e Lagrangeanas; dualidade em Optimização Discreta). III - Conjuntos Poliédricos Integrais (integralidade dual total e unimodularidade total). IV - Submodularidade (algoritmo greedy e matroides). V - Emparelhamentos e Afectação (algoritmos para os emparelhamentos de cardinalidade máxima e de peso máximo e para o problema da afectação) VI - Introdução à Programação Dinâmica (aplicacão aos problemas lot-sizing e da mochila). VII - Algoritmos Branch and Bound e de Planos Cortantes.
Programação Não-Linear
I - Optimizacão Não Linear sem Restrições (fundamentos, métodos de procura unidireccional, métodos de região de confiança, métodos de quasi-Newton). II - Teoria da Optimização Não Linear com Restricões (condições necessárias de primeira e segunda ordem, condições suficientes de segunda ordem). III - Optimização Não Linear com Restrições (introducão aos métodos de penalidade, de barreira e de Lagrangeano aumentado e/ou introdução à programação quadrática e aos métodos de programação sequencial quadrática). IV - Problemas de Optimização Não Linear que aparecem frequentemente em Ciências e Engenharia (problemas de mínimos quadrados não lineares e de controlo óptimo).
Programação Orientada para Objectos
I - Introdução e Conceitos Fundamentais. II - A Linguagem de Programação C++. III - Classes, Objectos e Mensagens. IV - Relações entre Classes, Classes Derivadas, Mecanismos de Herança e Polimorfismo. V - Classes Genéricas. VI - Estudo de Exemplos de Aplicação. VII - Métodos de Análise e Desenvolvimento - Breve Introdução.
Teoria das Categorias
Categorias, functores e transformações naturais. Epimorfismos, monomorfismos, subobjectos e elementos. Princípio da dualidade categórica. Lema de Yoneda. Limites e colimites. Functores adjuntos. Categorias cartesianas fechadas.
Topologia Algébrica
Homotopia. Grupo Fundamental. Coberturas. Grupos de Homotopia.