Programas resumidos das disciplinas:

1º SEMESTRE

Análise Real (Doutor Manuel Portilheiro)
Elementos de Medida e Integração. Espaços de Banach: teoremas fundamentais. Topologias fracas; espaços reflexivos e separáveis. Espaços L_p.

Códigos e Criptografia (Doutores Cristina Caldeira e Pedro Quaresma)
Introdução à Criptografia: noções básicas de complexidade computacional; noções de Teoria dos Números e de Álgebra relevantes em Criptografia; sistemas de Criptografia de chave pública (e.g. RSA, El Gamal, ECC).

Computação Paralela (Doutor Orlando Neves de Oliveira)
I - A necessidade de programação paralela e modelos de programação: "data parallelism", "shared memory", "message passing". A concepção de programas paralelos: partição, comunicação, sincronização, "load balancing", granularidade, I/O. Análise de performance e optimização.
II - Open MP. O modelo de programação em OpenMP. Directivas. Multiplicação de matrizes e resolução de sistemas lineares com OpenMP.
III - A biblioteca "Message Passing Interface" (MPI). As rotinas fundamentais. Comunicação ponto-a-ponto: comunicação síncrona e assíncrona. Comunicações colectivas. Variáveis compostas. Grupos e Redes virtuais. MPI-2. Análise de performance e optimização com MPI.
IV - Aplicações: medição dos tempos de comunicação; cálculo do PI; geradores de números aleatórios; método de Monte Carlo; resolução da equação de Poisson; o problema de N corpos; mecânica de fluidos; álgebra linear.

Equações com Derivadas Parciais (Doutor José Miguel Urbano)
As EDPs lineares clássicas: as equação de Laplace, do calor e das ondas.
EDPs lineares de segunda ordem: equações elípticas (existência de soluções fracas; regularidade - o método dos quocientes diferenciais de Nirenberg; princípios do máximo; a desigualdade de Harnack); equações parabólicas (o método de Galerkin; regularidade; princípios do máximo); equações hiperbólicas (propagação das perturbações).
Tópicos de EDP's não-lineares: cálculo das variações; métodos de monotonia e do ponto fixo.

Grupos e Representações (Doutora Ana Paula Santana)
Grupos e módulos. Representações matriciais e lineares de grupos; a álgebra de grupo; Teorema de Maschke.Módulos semi-simples; Teorema de Wedderburn e álgebras semi-simples. Produtos tensoriais e técnicas de construção de representações. Teoria geral de caracteres. Caracteres sobre C de grupos finitos; relações de ortogonalidade; subgrupos normais e tabelas de caracteres; caracteres induzidos. Teorema p^aq^b de Burnside.

Lógica Avançada (Doutor Reinhard Kahle)
Introdução histórica. Quatro temas da lógica moderna: teorias dos conjuntos, dos modelos, da recursão e da demonstração. Sintaxe e semântica, completude, Aritmética, teoremas de Goedel, aplicações.

Matemática Financeira (Doutor Luís Nunes Vicente)
Introdução à Matemática dos Derivados Financeiros:
Contratos forward, contratos de futuros, arbitragem, opções. Modelação (estocástica e diferencial estocástica) do valor de um activo financeiro. O modelo de Black-Scholes. A fórmula de Black-Scholes. Paridade put-call e delta-hedging. Risco neutral e volatilidade implicada. Opções sobre activos que pagam dividendos. Preços de contratos forward e de contratos de futuros e de opções sobre futuros. O método binomial. Opções americanas. Opções exóticas (binárias). Opções dependentes da trajectória do activo (opções de barreira). Modelos de taxas de juro. Opções sobre obrigações e outros produtos sobre taxas de juro.
Introdução à Matemática da Selecção de Portefólios:
Modelo quadrático de Markowitz. Fronteira de eficiência. Modelo linear. Valor em Risco (VaR) e Valor em Risco Condicionado (CVaR).
Requisitos: conhecimentos básicos de análise vectorial, probabilidades e estatística, equações com derivadas parciais e optimização.

Métodos Matemáticos da Biologia (Doutora Sílvia Barbeiro)
O curso inclui o estudo analítico e a simulação numérica de um conjunto de modelos matemáticos entre os quais destacamos os relativos a: Dinâmica de Populações; Propagação de Doenças Infecciosas; Genética e Evolução; Biologia Celular e Molecular.

Modelos Não Paramétricos (Doutor Carlos Tenreiro)
Modelos paramétricos versus modelos não paramétricos. Algumas técnicas não paramétricas para a estimação da função de distribuição, da densidade de probabilidade e da regressão. Estudo detalhado dos estimadores do núcleo: convergência, distribuição assintótica, escolha do núcleo e da janela. Aplicações à construção de regiões de confiança e aos testes de hipóteses.

Optimização Numérica (Doutor Joaquim Júdice)
1) Globalização de métodos numéricos para optimização não linear sem restrições (procura unidireccional, regiões de confiança).
2) Condições de optimalidade para optimização não linear com restrições.
3) Programação quadrática.
4) Métodos numéricos para optimização não linear com restrições (penalização, barreira e Lagrangeano aumentado; pontos interiores; programação sequencial quadrática).
5) Resolução computacional de problemas de controlo e projecto óptimos e de identificação de parâmetros.
6) Introdução à optimização global e à optimização sem derivadas.

Processos Estocásticos (Doutora Ana Cristina Rosa)
Introdução à teoria dos processos estocásticos. Cadeias e processos de Markov. Processos de renovação. Martingalas.

Séries Temporais (Doutoras Nazaré Lopes e Esmeralda Gonçalves)
Noções básicas de processos estocásticos.
Análises probabilista e estatística de modelos lineares e não lineares de séries temporais (auto-regressivos e médias móveis, condicionalmente heteroscedásticos e bilineares). Previsão.
Modelação estocástica de séries financeiras observadas (cotações de acções do índice PSI 20 da Euronext de Lisboa).

Variedades Diferenciáveis (Doutor Francisco Craveiro de Carvalho)
1- Variedades diferenciáveis.
2- Topologia das variedades diferenciáveis.
3- Espaço tangente.
4- Imersões.
5- Submersões.
6- Campos de vectores.
7- Grupos de Lie.

2º SEMESTRE

Álgebras e Grupos de Lie (Doutora Fátima Leite)
Conceitos gerais de álgebras de Lie.
Álgebras de Lie solúveis, nilpotentes e semi-simples.
Estrutura das álgebras de Lie semi-simples (subálgebras de Cartan, raízes, decomposição em subespaços raiz, classificação).
Álgebras de Lie clássicas.
Conceitos básicos de grupos de Lie.
Álgebra de Lie de um grupo de Lie.
Aplicação exponencial.
Grupos de Lie clássicos.
Problemas de optimização em grupos de Lie matriciais.
Aplicações a problemas de engenharia.

Amostragem e Sondagens (Doutor Paulo Eduardo Oliveira)
Planos de amostragem. Inferência. Estimadores, estimador de Horvitz-Thompson, optimalidade. Amostragem aleatória simples e algumas variantes. Medidas auxiliares, outros estimadores.

Computabilidade e Complexidade (Doutor Reinhard Kahle)
Funções recursivas primitivas. Função de Ackermann. Funções recusivas parciais. Máquina de Turing. Tese de Church. Máquina universal de Turing. Problema da Paragem. Resultados de Indecidibilidade. Teorema de Rice. Teoremas de recursão. Funções polinomiais. A classe de complexidade NP. Problemas NP-completos. Reduções. Caracterizações implícitas.

Geometria Algébrica (Doutor Jorge Neves)
Espaço projectivo. Variedades projectivas. Ideal homogéneo. Topologia de Zariski. Variedades afins. Teorema dos zeros de Hilbert. Espaço tangente e dimensão. Polinómio de Hilbert e grau de uma variedade projectiva. Morfismos de variedades.
Temas opcionais de leitura (para o mestrado): a) Aplicações bi-racionais. b) Espectro de um anel. c) Feixes coerentes.
Bibliografia fundamental: M. Reid; Undergraduate Algebraic Geometry; LMS Student Texts, CUP. I. Shafarevich; Basic Algebraic Geometry 1; Springer. R. Hartshorn; Algebraic Geometry; Springer.

Geometria Simpléctica (Doutora Joana Nunes da Costa)
Variedades simplécticas. Campos de vectores hamiltonianos. Acções simplécticas e hamiltonianas. Teorema de Noether. Redução de variedades simplécticas. Teorema de Marsden-Weinstein. Variedades de Poisson. Morfismos e automorfismos infinitesimais de Poisson. Estrutura local de folheação simpléctica de uma variedade de Poisson.

Modelos Matemáticos da Engenharia (Doutor Manuel Portilheiro)
Mecânica dos Fluidos (equações de Navier-Stokes; aplicações em Geofísica). Mecânica dos Sólidos (problemas de cascas, placas e vigas).

Optimização Financeira (Doutor Luís Nunes Vicente)
1- Selecção de portefólios: modelo quadrático de Markowitz; fronteira de eficiência; modelo linear; Valor em Risco (VaR); Valor em Risco Condicionado (CVaR); optimização robusta.
2- Modelos de programação linear para a atribuição de preços e detecção de arbitragem em derivados financeiros.
3- Modelos de programação inteira para a construção de fundos.

Programação Funcional (Doutor Pedro Quaresma)
Conceitos Fundamentais. Tipos de dados simples. Listas. Árvores. Tipos Abstractos de Dados e Módulos. Eficiência. Listas infinitas. Monades.

Simulação Numérica de Modelos (Doutores Adérito Araújo e Ercília Sousa)
Aplicação dos modelos numéricos com equações diferenciais ordinárias e com derivadas parciais, na resolução numérica de modelos matemáticos que surgem nas Ciências e nas Engenharias (Biologia, Ambiente, Indústria, etc).
1- Integração Geométrica: simetria e reversibilidade, conservação de invariantes, análise regressiva do erro.
2- Técnicas de Fourier em problemas de evolução: Análise de Fourier discreta, transformadas rápidas de Fourier, métodos espectrais.
3- Leis de conservação, equação de Burger, Métodos de Volumes Finitos.
4- Equações elípticas, Equação de Poisson, Métodos Multigrid.

Teoria das Categorias (Doutora Manuela Sobral)
Categorias e functores. Isomorfismo. Objecto inicial e terminal. Monomorfismo, epimorfismo. O Princípio da dualidade categorial. Tipos de functores. Produtos e coprodutos. Igualizadores e co-igualizadores. Produtos fibrados e somas amalgamadas. Limites e colimites. Categorias (finitamente) completas: Teorema de existência de limites (finitos). Transformações naturais. Lema de Yoneda. Functores representáveis. Equivalência de categorias. Functores adjuntos. Teoremas de existência de functor adjunto. Categorias cartesianas fechadas. Topos.

Teoria de Galois sobre Anéis (Doutora Maria Manuel Clementino)
I. Teoria de Galois sobre corpos: o Teorema de Galois clássico e o Teorema de Galois de Grothendieck; teoremas de Galois de dimensão infinita.
II. Teoria de Galois sobre anéis: grupóides profinitos; teoria da descida para anéis; espectro de Pierce de um anel; Teorema de Galois para anéis.

Teoria Geométrica do Controlo (Doutor Armando Gonçalves)
Estudo da teoria qualitativa dos sistemas de controlo lineares. Tópicos a abordar: sistemas de controlo lineares, conjuntos atingíveis, controlabilidade, sistemas realimentados, prescrição de pólos, observabilidade.

Teoria do Risco (Doutoras Maria Emília Nogueira e Ana Cristina Rosa)
Teoria da utilidade e a actividade seguradora. Princípios de cálculo do prémio. Modelos de risco individual e colectivo. O processo de reserva de risco. Teoria da ruína. Teoria da credibilidade.

Visualização Computacional (Doutor José Carlos Teixeira)
Introdução à Computação Gráfica.
Sistemas Gráficos Interactivos: Componentes, Primitivas gráficas e seus atributos, Visualização 2D e 3D, Interacção.
Transformações Geométricas: Transformações Euclidianas, Afins e Projectivas.
Modelação Geométrica: Malhas poligonais; Estruturas de dados e Esquemas de Representação; Modelação de Curvas e Superfícies; Modelação de Sólidos.
Representações Realistas: Visibilidade; Cor; Modelos de iluminação.
Visualização de Dados e Informação: Representação visual de informação quantitativa e qualitativa.
Introdução à Realidade Virtual.