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Seminários decorridos em 2009
Nullstellensatz Combinatório
Afonso José Sousa Bandeira
3º ano - Universidade de Coimbra
Resumo: Nesta apresentação intitulada de Nullstellensatz Combinatório expomos o teorema que lhe dá nome, um teorema algébrico com aparência análoga ao
conhecido Teorema dos Zeros de Hilbert, que pode ser aplicado em diversas
áreas da Matemática. Vamos mostrar aplicações deste teorema em Teoria de
Matrizes, Geometria, Teoria Analítica dos Números e Teoria dos Grafos.
Data: Quarta-feira, 11 de Março de 2009; 14h30
Nós em Grafos
Joel Moreira
3º ano - Universidade de Coimbra
Resumo: Quando imergimos um grafo em R³ os seu ciclos podem ser vistos como nós. Põe-se assim o problema de saber, dado um grafo, se é possível emergi-lo de
modo que todos os nós criados pelos seus ciclos são triviais. A mesma questão
se levanta para pares de ciclos disjuntos e o enlace por eles formado. Acrescentamos
alguns resultados que podem ajudar a responder a estas questões.
Data: Terça-feira, 17 de Março de 2009; 13h50
Teorema de Müntz
Eduardo Dias
Mestrado em Matemática - Universidade de Coimbra
Resumo: Um dos primeiros teoremas que qualquer aluno de matemática aprende sobre teoria da aproximação é o famoso teorema de Weirstrass que nos diz que qualquer função contínua em [0,1] pode ser uniformemente aproximada por polinómios. Podemos perguntar-nos então se poderemos aproximar qualquer função contínua por polinómios cujos únicos expoentes são quadrados de inteiros, fracções da forma 1/n, ou (mais geral) uma qualquer sucessão de números positivos. O teorema de Müntz responde a estas questões dando uma condição necessária e suficiente para span{ x^k1,x^k2, ? } ser denso em C[0,1].
Para demonstrar este Teorema faremos uma digressão por diversas áreas, desde a análise funcional e complexa até aos interessantes sistemas e polinómios de Chebyshev.
Data: Quarta-feira, 25 de Março de 2009; 15h
Equações Funcionais de Cauchy
Susana Gomes
2º ano da Licenciatura em Matemática - Universidade de Coimbra
Resumo: No estudo de equações funcionais, encontramos algumas com solução imediata. Por exemplo, f(xy)=f(x)+f(y) tem como solução funções do tipo f(x)=kln(x). Mas serão estas as suas únicas soluções? Se não, que outras funções a satisfazem?
Vamos estudar esta e as outras três equações funcionais de Cauchy: f(x+y)=f(x)+f(y), f(x+y)=f(x)f(y), f(xy)=f(x)+f(y) e f(xy)=f(x)f(y) e veremos que o estudo das três últimas equações se resume ao estudo da primeira, recorrendo a propriedades de espaços vectoriais e ao conhecimento de funções patológicas, funções estas que têm propriedades inesperadas, como o facto de serem ilimitadas em todos os intervalos do seu domínio.
Data: Quarta-feira, 15 de Abril de 2009; 14h30
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