Dificilmente a Astronomia poderia existir sem o suporte que a Matemática lhe dá. Esta permite, não só a quantificação dos fenómenos astronómicos, mas também uma descrição lógica da sua natureza e da sua evolução. As aplicações da Matemática à Astronomia são muitas e variadas. No entanto, e contrariando a complexidade intrínseca de muitos dos fenómenos astronómicos, a matemática que lhes está associada é, em muitos dos casos, de uma simplicidade de espantar.
Este artigo pretende resumir os contornos históricos e científicos de um problema que intrigou a comunidade de astrónomos e matemáticos nos finais do século XVIII, a "lei de Titius - Bode" - uma sucessão que reproduz as distâncias (médias) do Sol a cada um dos planetas, de Mercúrio a Saturno (Nieto, 1972).
Este artigo é o primeiro capítulo de um trabalho mais geral sobre a utilização na Astronomia de conceitos matemáticos inseridos nos programas do ensino secundário em Portugal.
O mistério cosmográfico de Kepler
A ideia da existência de uma regularidade no sistema solar, que veio a ser materializada pela "lei de Titius - Bode", remonta a passados distantes. Por exemplo a escola pitagórica defendia que a razão entre as distâncias a dois planetas consecutivos era constante e igual a 3 e Hipolytus, no ano 230, argumentava que seria uma heresia imaginar a não existência de ordem nos espaços interplanetários.
No entanto é necessário esperar pelo grande astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), para assistir a uma discussão qualitativa e quantitativa desta hipotética regularidade. Discussão esta que percorreu a comunidade de astrónomos e matemáticos (pelo menos) durante os séculos XVII e XVIII.
Em 1596 Kepler, com apenas 25 anos e professor da matemática em Gratz (Áustria), publica uma das suas obras de referência, o Mysterium Cosmographicum. Aí é expressa a ideia de que a posição dos planetas no sistema solar não é aleatória. Profundamente místico e crente, Kepler tem uma visão quase pitagórica de um Universo cuja estrutura é de natureza matemática, e para quem era inconcebível um Deus que criava ao acaso (Vigoureux, 1997).
É nessa obra que Kepler apresenta o seu modelo de um sistema solar (heliocêntrico) em que órbitas planetárias, representadas por esferas, inscrevem (e que por sua vez estão inscritas) nos poliedros regulares (ou sólidos perfeitos ou sólidos de Platão): o espaço entre as órbitas de Saturno e de Júpiter é ocupado pelo cubo que, inscrito na esfera de Saturno, inscreve a órbita de Júpiter; analogamente o espaço entre as órbitas de Júpiter e Marte é ocupado por um tetraedro; entre Marte e Terra, um dodecaedro; entre a Terra e Vénus, um icosaedro; e finalmente entre Vénus e Mercúrio um octaedro. Como se de matrioscas russas se tratassem, as órbitas celestes intercalam-se entres elas por forma a que cada esfera contenha um dos cinco poliedros, que por sua vez contém uma nova esfera (Figura 1).
Para Kepler, este modelo estabelecia de imediato uma conexão entre o Universo e a Geometria: cinco poliedros regulares correspondem exactamente aos cinco espaços interplanetários.
Esteticamente belo, este modelo não reproduz, contudo, as distâncias correctas entre o Sol e os planetas (ver mais adiante na tabela). Mesmo assim Kepler não desiste, lançando-se em cálculos cada vez mais complicados no sentido de aproximar o seu modelo da realidade, já que acima de tudo acreditava profundamente num Universo organizado que seguia leis matemáticas e por isso divinas : "Eu pretendo provar que Deus, criando o Universo dando regras à disposição dos Céus, teve em vista os cinco poliedros regulares da geometria, célebres desde Pitágoras e Platão, fixando, tendo em conta as suas dimensões, o número, as suas proporções e a relação entre os respectivos movimentos", escreve Kepler no seu Misterium Cosmographycum.
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Figura 1. O modelo do sistema solar publicado no "Mysterium Cosmographycum" de Johannes Kepler, 1596: os espaços interplanetários são preenchidos pelos cinco poliedros regulares. Reprodução tirada de Gullberg (1997). |
Entretanto, em 1600 Kepler encontra-se em Praga com aquele que era considerado o maior conhecedor dos céus do seu tempo, o astrónomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601). Brahe era um aristocrata, excêntrico e devotado aos prazeres terrenos, nos antípodas do modesto, "apagado" e místico Kepler. Além disso, Brahe era um opositor da teoria heliocêntrica de Copérnico (1473-1543), teoria esta que Kepler tinha como pilar do seu modelo do sistema solar. Não é de estranhar portanto que a convivência destas duas personalidades tivesse sido conturbada, apesar de, e tudo leva a crer que assim era, se admirarem mutuamente. A prová-lo está o facto de Brahe, à sua morte, ter legado os seus cadernos de observações a Kepler.
Assim, após a morte do grande observador, Kepler inicia um longo trabalho de análise das observações de Brahe tentando com isso validar o seu modelo do Misterium Cosmographycum uma vez que "[...] Kepler, e nisto mostrou grande valor, embora guiado por ideias teóricas, estava consciente de que estas só tinham validade se resistissem à prova da comparação com as observações rigorosas (como eram as de Tycho Brahe) – simples atitude científica é certo, mas qualquer coisa de muito revolucionário naquele tempo." (Gibert, 1982).
Assim, Kepler dedica-se particularmente ao estudo da órbita de Marte, e em 1609 publica os resultados na obra "Nova astronomia causativa ou física celeste, extraída dos movimento de Marte, a partir das observações de G.V. Tycho Brahe".
Mas de que nova astronomia está Kepler a falar ?
Kepler descobre que as observações de Brahe, das posições da Marte, não são compatíveis com uma órbita circular, mas elíptica.
Nunca até então se tinha falado em movimentos elípticos. A doutrina do círculo reinava há mais de 2000 anos. Era sagrada e intocável. Por isso, tendo tido uma relutância inicial em aceitar este resultado, Kepler decide rapidamente da sua veracidade pelo facto de ter uma confiança quase cega nas observações de Tycho Brahe e um profundo sentido preciosismo: "Se o Senhor nos deu um observador como Tycho Brahe, não temos o direito de desprezar um erro de oito minutos [de arco] entre as observações e o cálculo" !
No entanto, temendo a previsível reacção a esta descoberta, consta que a palavra "elipse" nunca aparece nos seus escritos. Kepler substitui-a pela palavra "oval" ! Seja como for, Kepler compreende a extensão deste resultado, não admirando portanto que a obra fale de "nova astronomia".
Além deste resultado, que veio a ser imortalizada como 1a lei de Kepler - os planetas desenham órbitas elípticas no seu movimento em torno do Sol, ocupando o Sol um dos focos - esta obra contém ainda, a chamada 2ª lei de Kepler ou lei das áreas - o vector posição Sol – Planeta "varre" áreas iguais em tempos iguais - que por si só explicava as variações de velocidade dos planetas nas suas órbitas, variações estas cuja existência era já conhecia. Por curiosidade, refira-se que a 3ª lei de Kepler - que estabelece ser constante o quociente do quadrado do período de translação pelo cubo do semi-eixo maior das órbitas dos planetas do sistema solar – só veio a ser apresentada na obra "De Harmonicis Mundi" em 1619.
No entanto a constatação de órbitas elípticas trás uma contrariedade suplementar para Kepler: coloca o seu modelo do "Misterium Cosmographycum" em causa uma vez que este admitia órbitas circulares.
Em "De Harmonicis Mundi", Kepler fala já de órbitas que não são circulares mas conserva a ideia original, de que os espaços interplanetários são preenchidos pelos cinco poliedros regulares. Assim, para Kepler uma parte do seu modelo continuava válida e com ele duas consequências: se existem só cinco poliedros regulares então existem cinco espaços planetários e portanto unicamente seis planetas. De facto Kepler acreditou sempre que o sistema solar "terminava" em Saturno; por outro lado, num sistema solar cujos espaços interplanetários estão "parametrizados" por poliedros é legítimo pensar na possibilidade de existência de regularidade na distribuição desses espaços, ou por outras palavras, nas próprias distâncias Sol – planetas. Esta ideia, em particular, colhe vários adeptos, outros que o próprio Kepler, nos séculos XVII e XVIII, onde se podem destacar Christian Freiherr von Wolf (1679-1754) e o seu discípulo Immanuel Kant (1724-1804).
A lei de Titius – Bode … que afinal é só de Titius !
Em 1766 Johann Daniel Titius (1729-1796), professor de Física na Universidade de Wittenberg, Alemanha, traduz para o alemão a obra "Contemplation de la Nature", do naturalista e filosofo suíço Charles Bonnet (1720-1793).
Na tradução de Titius pode ler-se a certa altura o
seguinte:
"Tome-se a distância do Sol a
Saturno como 100 unidades, Mercúrio distará do Sol 4
dessas unidades; Vénus 4 + 3 = 7 unidades; a Terra 4 + 6
= 10; Marte 4 + 12 = 16. No entanto note-se que entre
Marte e Júpiter há um desvio a esta progressão, uma
vez que a seguir a Marte vem 4 + 24 = 28 unidades, onde
até ao presente nenhum planeta foi descoberto. Será que
o Construtor deixou este espaço livre ? Nunca ! Sem
dúvida este lugar é ocupado por um satélite de Marte,
que ainda não foi descoberto [...]. Depois temos a
posição de Júpiter 4 + 48 = 52 e Saturno 4 + 96 = 100.
Mas que relação tão curiosa."
A regularidade com que Kepler tinha sonhado estava descoberta !
Esta espécie de jogo de lógica pode ser traduzida pela seguinte sucessão:
dn = 4 + 3 ´ 2n
em que n é um número inteiro maior ou igual a 0, sendo que n = 0 corresponde a Vénus, n = 1 à Terra, n = 2 a Marte, n = 4 a Júpiter e n = 5 a Saturno. Mercúrio corresponde assim a
lim dn = 4, quando n ® - ¥
Na tabela em baixo comparam-se os valores obtidos pela sucessão dn com os valores reais das distâncias (médias) do Sol aos planetas conhecidos até então. Note-se que a quarta coluna contêm os valores da terceira coluna divididos por 15.000.000 km ou seja 1/10 da distância média que separa o Sol da Terra, que foi o factor de escala usado por Titius na sua formulação original.
| (1) | (2) |
(3) | (4) | (5) | (6) |
| Planeta | n | Distância (média)
real Sol - Planeta (km) |
Distância dividida
por 15 000 000 km |
dn | Kepler |
| Mercúrio | -¥ |
58 500 000 |
3.9 |
4 |
5.6 |
| Vénus | 0 |
108 000 000 |
7.2 |
7 |
7.9 |
| Terra | 1 |
150 000 000 |
10.0 |
10 |
10.0 |
| Marte | 2 |
228 000 000 |
15.2 |
16 |
12.6 |
| Júpiter | 4 |
780 000 000 |
52.0 |
52 |
37.7 |
| Saturno | 5 |
1 432 500 000 |
95.5 |
100 |
65.4 |
Não pode deixar de se admirar a semelhança entre as quarta e quinta colunas e de como uma sucessão tal simples prevê tão bem as distâncias aos planetas.
Na última coluna (6) estão colocados os correspondentes valores das distâncias obtidos considerando o modelo dos poliedros de Kepler, em "Misterium Cosmographycum". Como se pode constatar as diferenças são globalmente grandes.
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Johann
Daniel Titius (1729 - 96) |
É talvez interessante introduzir aqui um episódio relacionado com a descoberta desta sucessão: sendo o livro de Titius uma tradução, seria de esperar que o original contivesse também a parte do texto que aqui transcrevemos. Na realidade não é assim. O livro de Bonnet nada diz sobre esta "curiosa relação". Foi Titius que da sua lavra introduziu esta parte sem se ter referido a ela como uma "nota do tradutor" (Nieto, 1972).
Uns anos mais tarde, em 1772, o famoso astrónomo alemão Johann Elert Bode (1747 -1826), no seu livro "Guia para o conhecimento do céu das estrelas", transcreve quase integralmente o texto de Titius, sem fazer referência ao seu autor. Assim, um pouco injustamente, mas seguramente por se tratar uma referência do seu tempo, Bode associa o seu nome a esta descoberta e a História acabou por denominar a sucessão dn por "lei de Titius - Bode" (Nieto, 1972).
Voltemos ao facto da "lei de Titius - Bode" prever as distâncias (médias) Sol – Planetas. Levantaram-se logo dois grupos: por um lado os que argumentavam ser esta coincidência fruto do acaso e tratar-se de uma questão de numerologia, uma vez que não havia argumento científico que pudesse explicar tal relação; por outro lado, os partidários da relação contra-atacavam dizendo que era impossível ser o acaso responsável por tão belo resultado. Uns e outros, no entanto, estavam de acordo na necessidade de mais provas. Que provas poderiam ser essas ? Um bom teste seria, por exemplo, a eventual descoberta de novos planetas para lá de Saturno (para n ³ 6).
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Johann
Elert Bode (1747 -1826) |
E assim foi. Em 1781 o astrónomo inglês William Herschel (1738-1822), um expoente máximo na astronomia de observação dos séculos XVIII e XIX, descobre Urano a uma distância de 2 880 000 000 km do Sol, ou seja 192 unidades na nomenclatura de Titius. A "lei de Titius - Bode" indica que para o planeta seguinte a Saturno, portanto n = 6, d6 = 196 unidades! A semelhança dos dois valores é, no mínimo, admirável.
A "lei de Titius - Bode" ganha cada vez mais adeptos. O próximo passo na sua verificação seria a de tentar encontrar o tal planeta, entre Marte e Júpiter, que Titius diz "que falta" para n = 3. Em 1800 começa um campanha de observação com vista à descoberta do planeta "ausente": o céu foi dividido em 24 zonas, uma para cada um de 24 astrónomos que se predispuseram para esta busca.
Não foi necessário esperar muito. Logo em Janeiro de 1801 o astrónomo italiano Giuseppe Piazzi anuncia a descoberta de um pequeno planeta entre Marte e Júpiter, ao qual se deu o nome de Ceres, à distância do Sol de 415 500 000 km, ou seja 27.7 unidades. A "lei de Titius - Bode", para n = 3, indica d3 = 28 unidades! Não se podia pedir mais. Quem se atrevia agora a contestar a validade de tal lei ? Além disso esta descoberta trazia consigo uma outra de enorme importância: estava encontrada a cintura de asteróides.
Que pensaria Kepler se pudesse assistir a estas descobertas? Por um lado, como ele sempre imaginou, o sistema solar podia ser representado por uma relação matemática por outro lado, havia mais de cinco planetas e não havia mais poliedros ...
Apesar deste momento de glória a lei apresentava alguns pontos fracos. O célebre matemático e físico Carl Frederich Gauss (1777-1855) levantou o seguinte problema: se a "lei de Titius - Bode" prevê a existência de um planeta para todos os n inteiros positivos, zero incluído e se Mercúrio representa o limite da sucessão quando n tendo para - ¥ , então entre Mercúrio e Vénus deveria existir uma infinidade de planetas, correspondentes a cada um dos inteiros negativos, uma vez que não há razão para pensar que só os inteiros positivos são contemplados. No realidade não havia qualquer evidência observacional da existência de outros corpos entre Mercúrio e Vénus.
No entanto, a primeira grande desilusão entre os defensores da "lei de Titius – Bode" aparece com a descoberta de Neptuno. Esta descoberta deve-se em primeiro lugar aos trabalhos teóricos realizados separadamente pelo astrónomos inglês John Coach Adams (1819-1892) e pelo astrónomo francês Urbain Jean Joseph Leverrier (1811-1877) que, observando perturbações na órbita de Urano, as explicaram pela influência de um planeta perturbador, que não podia ser Saturno. Ao astrónomo observador inglês Johann Gottfried Galle (1812 – 1910) foi dada a tarefa de procurar esse hipotético planeta. Galle confirmou a existência da tal corpo a 23 de Setembro de 1846, a uma distância do Sol de 4 513 500 000 km, ou 300.9 unidades. A "lei de Titius - Bode" previa para n = 7, d7 = 388 unidades. Nunca a lei se tinha afastado tanto da realidade.
No entanto é curioso salientar que Adams e Leverrier fizeram os seus cálculos tomando como verdadeira a "lei de Titius - Bode". De facto a observação confirmou a existência do planeta, mas não à distância prevista.
Já no nosso século, em 1930, o astrónomo inglês Clyde W. Tombaugh descobre o planeta Plutão a uma distância do Sol de 5 925 000 000 km, ou 395 unidades, contra as 772 unidades prevista pela lei para o planeta n = 8. Foi o "canto do cisne" da "lei de Titius e Bode".
O século XX e conclusão
A partir da descoberta de Plutão a "lei de Titius - Bode" passou então por uma fase de descrédito, que na realidade já se tinha iniciado com a descoberta de Neptuno e, que se estendeu até finais dos anos sessenta.
Foram no entanto sendo apresentadas novas formulações da lei, com o objectivo de a aproximar das observações. Há a destacar os trabalhos de Blagg (1913), Richardson (1954) e mais recentemente, por exemplo, Ragnarsson (1995).
Com a generalização da utilização dos computadores na investigação científica, no início dos anos setenta, e a consequente possibilidade de realizar simulações numéricas até então impossíveis, as questões ligadas à existência, ou não, de regularidade no sistema solar tomou novos contornos. Hoje o problema coloca-se fundamentalmente ao nível do estudo da estabilidade do sistema solar: porque ocupam os planetas as posições que hoje observamos ? Serão essas posições dinamicamente estáveis ? No início da formação do sistema solar eram estas as posições ? Como evoluirá os sistema solar? (cf. Nieto, 1972; Graner & Dubrulle, 1994).
Assim, a "lei de Titius – Bode" (ou do mesmo tipo) passa para o plano das consequências de um problema mais geral que se prende com a formação e evolução dinâmica do sistema solar, problema que se encontra hoje na ordem do dia da investigação em astronomia e astrofísica pondo em colaboração as comunidades de astrónomos e matemáticos.
Em forma de conclusão poderemos afirmar que a "lei Titius – Bode" deu uma contribuição considerável para o avanço da astronomia: além de toda a discussão que suscitou entre os adeptos e os opositores, que abriu caminhos a uma melhor compreensão do sistema solar como sistema dinâmico, influenciou decisivamente a procura de planetas até então desconhecidos, Ceres e Neptuno são os casos mais evidentes. Naturalmente que a cintura de asteróides e Neptuno teriam sido descobertos mais tarde ou mais cedo. No entanto a vontade de testar a "lei Titius – Bode" antecipou tais descobertas.
Bibliografia
- Blagg, M. A., "On a suggest substitute for Bode’s Law", Monthly Notices", 1913, Monthly Notices Royal Astronomy Society 73, 414-422
- Crombie, A. C., "Augustine to Galileo, the history of science AD 400 – 1650", 1952, Falcon Educational Books
- Gibert, Armando, "Origens históricas da Física Moderna", 1982, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa
- Graner, F., & Dubrulle B., "Titius-bode laws in the solar system", 1994, Astronomy & Astrophysics, 282, 262 - 268
- Gullberg, Jan, "Mathematics from the birth of the Number", 1997, Norton & Company
- Nieto, Michael Martin, "The Titius - Bode law of planetary distances", 1972, Programom Press;
- Vigoureux, Jean-Marie, "Les Pommes de Newton", 1997, Diderot editeur, arts et sciences;
- Ragnarsson, S.-I., "Planetary distances: a new simplefied model", 1995, Astronomy & Astrophysics, 301, 609-612
- Richardson, D. E, "Distances of planets from the Sun and of satellites from their primaries in the satellite systems of Jupiter, Saturn and Uranus", 1945, Pop. Astronomy 53, 14-26