Análise Matemática II - Engª Mecânica,
Engª Materiais
24 de Junho de 2003
Duração: 2h 30m
Sem consulta de apontamentos ou textos
Tabela autorizada
Calculadora científica ou
gráfica autorizada
1- O termo geral da sucessão associada 
de uma
série de funções 
é dado
por 
.
a) A
série 
converge?
Porquê?
b) Determine
.
c) Determine
.
2- a) Escreva o polinómio de Taylor de ordem 3
de 
no ponto a =
2.
b) Num certo instante um carro está a mover-se com uma velocidade de 27.2 m/s e uma aceleração de 1.3 m/s2. Usando um polinómio de Taylor do segundo grau, estime a distância percorrida pelo carro no segundo seguinte. Usando o mesmo polinómio, estime a distância percorrida pelo carro no minuto seguinte. Comente as estimativas obtidas.
3- Considere a figura obtida pela intersecção da porção de plano interior à curva
e da porção de plano exterior à curva
a) Faça um esboço da figura (Nota: responda a esta alínea na folha de resposta anexa).
b) Escreva o(s) integral(is) que nos permite(m) calcular a sua área. [Não efectue quaisquer cálculos; indique-os apenas.]
4- a) Deterime o desenvolvimento em série de
potências de x
da função definida por f(x) = arctg (x3).
b) Determine o raio de convergência da
série obtida.
5- Considere a sucessão de funções
, xÎ[0,1]
a) Calcule o limite pontual da sucessão de funções.
b) Mostre que a sucessão de funções não converge uniformemente.
c) Sem efectuar qualquer cálculo, indique o que pode afirmar sobre o valor lógico da seguinte igualdade
6- a) Determine a convergência (simples ou absoluta)
da série numérica
b) Determine o maior
conjunto onde é convergente a série de potências
7- Considere a função periódica de período 3π definida por meio de
a) Determine a sua série de Fourier;
b) Esboce graficamente, usando a sua calculadora gráfica, os três primeiros termos da sucessão associada da série (para n=0, n=1 e n=2). (Nota: responda a esta alínea na folha de resposta anexa).
c) Que propriedade das séries de Fourier observa no gráfico esboçado na alínea anterior?
Folha de resposta (não esquecer de anexar ao caderno de
respostas)
Nome:_________________________________________________ Nº:_________
Análise Matemática II - Engª Mecânica,
Engª Materiais
24 de Junho de 2003
3
a)-
7
b)-
