Análise
Matemática II - Engª Mecânica, Engª Materiais
9 de Junho de 2003 D
Duração:
2 horas
Sem
consulta de apontamentos ou textos
Tabela
autorizada
Calculadora
científica ou gráfica autorizada
1- Considere a figura obtida pela intersecção da porção de plano interior à curva
e da porção de plano exterior à curva
a) Faça um esboço da figura (Nota: responda a esta alínea na folha de resposta anexa).
b) Escreva o(s) integral(is) que nos permite(m) calcular a sua área. [Não efectue quaisquer cálculos; indique-os apenas.]
2- a) Escreva o polinómio de Taylor de ordem 3
de 
no ponto a = ln(3).
b) Num certo instante um carro está a mover-se com uma velocidade de 20 m/s e uma aceleração de 2 m/s2. Usando um polinómio de Taylor do segundo grau, estime a distância percorrida pelo carro no segundo seguinte. Será razoável usar o mesmo polinómio para estimar a distância percorrida no minuto seguinte? Porquê?
3- O termo geral da sucessão associada 
de uma
série 
é dado
por .
a) A
série 
converge?
Porquê?
b) Determine
.
c) Determine
.
4- Considere a função real de variável real definida por:
g(x) = 
a)
Determine a sua série de Taylor na vizinhança de 
.
b) Mostre que a soma da série de Taylor é efectivamente a função g.
c)
Usando a série de Taylor obtida na alínea a) determine um valor
aproximado de 
com um erro inferior a 0,000003.
d) Use a alínea a) para obter, justificando devidamente, o valor do integral
5- a) Determine a convergência (simples ou absoluta)
da série numérica
b) Determine o raio
de convergência da série de potências
6• Considere a função periódica de período 2π definida por meio de
a) Determine a sua série de Fourier;
b) Esboce graficamente, usando a sua calculadora gráfica, os três primeiros termos da sucessão associada da série (para n=0, n=1 e n=2). (Nota: responda a esta alínea na folha de resposta anexa).
Folha de resposta (não esquecer de anexar ao caderno de
respostas)
Nome:_________________________________________________ Nº:_________
Análise
Matemática II - Engª Mecânica, Engª Materiais
9 de Junho de 2003 D
1
a)-
6
b)-
