1- Seja

2- Considere a equação diferencial

a) Determine a solução que verifica ;

b) Indique, justificando devidamente, se o campo de direcções seguinte pode ser o campo de direcções da equação diferencial dada. (Sugestão: analise os sinais de )

3- Considere as curvas definidas em coordenadas polares por

a) Esboce a região do plano que é interior a ambas as curvas;

b) Determine os pontos de intersecção das duas curvas;

c) Estabeleça (mas não calcule) os integrais que nos permitem calcular a área da região referida na primeira alínea.

4- Seja

a) Desenvolva a função f em série de potências de x;

b) Determine o raio de convergência da série obtida;

c) Calcule .

5- Determine a natureza das séries numéricas, dizendo se a convergência é simples ou absoluta,

a) b)

6- Duas massas pontuais que se encontram a uma distância fixa atraem-se com uma força que é proporcional ao produto das massas. Supondo que a soma das duas massas é M, quais devem ser as massas individuais de modo que a força de atracção seja tão grande quanto possível? [Quando tiver de determinar extremos deve utilizar o método das derivadas de ordem superior a um.]

7- a) Prove, usando a definição, que se uma função é integrável e é positiva ou nula num intervalo [a,b] o seu integral definido em [a,b] é também positivo ou nulo.

b) Sejam

as coordenadas paramétricas de uma certa curva. Seja uma função bijectiva do intervalo no intervalo . Suponha que, para todo o do intervalo se tem

Explique que consequências tem este facto sobre o comportamento da curva.

8- Considere a função definida por

a) Prove que é par;

b) Determine , , e ;

c) Esboce a curva a partir dos dados obtidos nas alíneas anteriores;

d) Recorrendo às derivadas laterais determine a natureza do extremo local de no ponto x=0, caso exista.