1- Considere a função definida a partir do gráfico seguinte

Indique, justificando:

a) O sinal de onde .

b) O sinal de onde .

c) O sinal de onde .

2- Usando uma fórmula de Taylor, estabeleça uma fórmula de aproximação para h(x) = cosh (2x), 0 < x < 1, por um polinómio de grau 3 e majore o erro cometido ao efectuar tal aproximação.

3- a) Estude a natureza do integral:

b) Determine a natureza da série numérica:

c) Determine o raio de convergência da série de potências:

4- Calcular o seguinte integral por meio de séries

5- O plutónio desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade de plutónio presente em cada instante. O plutónio tem meia vida de aproximadamente 200 anos (isto é, são necessários 200 anos para passar a metade da quantidade inicial). Determine quanto tempo é necessário para que, de uma quantidade inicial de 1 kg, restem apenas 200 gramas.

6- Considere a curva definida em coordenadas polares por

a) Esboce-a;

b) Determine a área da região limitada pela curva.

7- a) Seja f uma função integrável no intervalo [a,b]. Seja m um minorante da função f no intervalo [a,b]. Prove que

m(b-a) ²

b) Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo ]a,b[. Suponhamos que

f(a) = f(b)