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X-Comment:  Educacao em Matematica


Esta' disponivel no endereco

http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/index.html

um extracto substancial da primeira versao da Proposta da Equipa Tecnica
nomeada pelo Ministerio da Educacao para ajustar os actuais novos programas
de Matematica do Ensino Secundario introduzidos pela Reforma Educativa.
Esta versao esta' disponivel para discussao publica ate' ao fim do mes de
Maio.


O que e' o Ajustamento dos Novos Programas de Matematica para o Ensino
Secundario (10., 11. e 12. anos)

O Departamento do Ensino Secundario do Ministerio da Educacao constituiu
uma Equipa Tecnica para o eventual ajustamento do novo programa de
Matematica dos 10., 11. e 12. anos, experimentado nos anos 1990/91, 91/92 e
92/93 e em fase de generalizacao a partir de 1993/94. O trabalho da equipa
tecnica que devera' estar concluido em Outubro p.f., assumira', na sua
versao final, a forma de uma proposta de "corpus" referencial obrigatorio
compativel com os tempos lectivos estipulados por lei [4 horas por semana],
integrando a reflexao produzida
nos ultimos anos. O desenvolvimento do estudo e o sentido das propostas da
equipa tecnica deverao responder `as necessidades sentidas pelos
professores e `a urgencia de alguma uniformidade na leccionacao. Podera'
ainda conduzir `a assuncao de outras medidas que ajudem a melhorar a
aprendizagem da Matematica no Ensino Secundario, tanto no campo da formacao
de Professores, como no campo da elaboracao de materiais ou, mesmo,
diversificacao de gestao de programas.

O Departamento do Ensino Secundario do Ministerio da Educacao esta' aberto `as
sugestoes de todos os interessados (endereco: Av. da Boavista, 1311, 5.,
4100 Porto).
-----


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Jaime Carvalho e Silva
Departamento de Matematica
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X-Comment:  Educacao em Matematica


Uma questao que me preocupa e a de saber se qualquer debate sobre o
"reajustamento" dos programas do Ensino Secundario deve ou nao ter em conta
uma perspectiva de longo prazo?

Na verdade o Ministerio tera as suas razoes (que desconheco) para se propor
fazer um simples reajustamento e nao uma mexida mais profunda nos
programas. No entanto, como esse reajustamento so entrara em vigor na fase
em que ja e (legalmente) possivel uma revisao mais substancial, nao vejo
porque nao deve esta ser exigida.

Como principais limitacoes dos actuais programas do Ensino Secundario,
gostaria de apontar desde ja as seguintes:

-carga horaria de4 horas semanais manifestamente insuficiente para alunos
do cursos de matematica/fisica/engenharia

-falta de diversificacao do programas neste nivel. Pelo menos deveriamos
ter as seguintes areas (a) matematica/fisica/engenharia, c/ 6 horas
semanais; (b) ciencias sociais e humanas: economia, gestao, psicologia,
sociologia, c/ 6 horas semanais; (c) humanisticos c/ 3 horas semanais; (d)
artes  c/ 3 horas semanais (menos que 3 horas tambem nao e nada)

-falta de explicitacao concreta dos objectivos ao nivel do raciocinio
matematico, decorrente da ausencia duma componente investigativa, que tende
a reduzir esses mesmos objectivos as tecnicas de calculo e compreensao de
conceitos (que sao importantes, mas muito insuficientes)

-presenca muito modesta de topicos de matematica discreta (por exemplo,
grafos, programacao linear e mesmo da estatistica que pouco avanca em
relacao ao terceiro ciclo)

Antes de entrar em aspectos de maior pormenor, gostaria de conhecer algumas
reaccoes a estas ideias

Joao Pedro da Ponte

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X-Comment:  Educacao em Matematica

>Uma questao que me preocupa e a de saber se qualquer debate sobre o
>"reajustamento" dos programas do Ensino Secundario deve ou nao ter em conta
>uma perspectiva de longo prazo?
>

Tudo o que o Ministerio da Educacao faz deve ter uma perspectiva de longo
prazo. A Educacao nao se altera a curto parzo, e a medio prazo...
Infelizmente isso e' coisa que nao tem existido desde os tempos do Roberto
Carneiro (e mesmo assim muitas coisas haveria a dizer...)

>Na verdade o Ministerio tera as suas razoes (que desconheco) para se propor
>fazer um simples reajustamento e nao uma mexida mais profunda nos
>programas.

As razoes sao obvias. Mexer no sistema o menos possivel.
O importantae e' aguentar o barco 'a tona.
Como a Matematica (e o Portugues) foram as areas de maior contestacao
essas sao as areas em que vai haver ajustamentos. Mas mesmo assim, muito em
circuito fechado (ouviram falar do ajustamento de Portugues?)
Mas a lei diz que os programas do 3. ciclo e secundario devem ser revistos
todos os tres anos. E' verdade que a lei nao concretiza como se faz isso...


>No entanto, como esse reajustamento so entrara em vigor na fase
>em que ja e (legalmente) possivel uma revisao mais substancial, nao vejo
>porque nao deve esta ser exigida.
>

Aquilo que me apercebi e' que uma revisao mais substancial e' impossivel
sem uma revisao do Decreto da Reforma Curricular. O que se pode fazer em 4
horas de Matematica por semana? Na realidade, na encomenda que a Equipa
Tecnica recebeu ha' uma alinea a dizer que se podem incluir novos capitulos
se isso for considerado relevante. Ou seja o Ajustamento podia ser quase
uma revisao total. Mas eu pergunto: ha' condicoes objectivas para isso?

>Como principais limitacoes dos actuais programas do Ensino Secundario,
>gostaria de apontar desde ja as seguintes:
>
>-carga horaria de4 horas semanais manifestamente insuficiente para alunos
>do cursos de matematica/fisica/engenharia

Totalmente de acordo. Mas isso nao e' uma limitacao dos programas mas sim
do Decreto da Reforma Curricular.

>
>-falta de diversificacao do programas neste nivel. Pelo menos deveriamos
>ter as seguintes areas (a) matematica/fisica/engenharia, c/ 6 horas
>semanais; (b) ciencias sociais e humanas: economia, gestao, psicologia,
>sociologia, c/ 6 horas semanais; (c) humanisticos c/ 3 horas semanais; (d)
>artes  c/ 3 horas semanais (menos que 3 horas tambem nao e nada)
>

Exactamente. Mas nao sei se concordo com o facto de menos de 3 horas nao
ser nada. Nao e' admissivel uma sessao unica de 2 horas por semana?

>-falta de explicitacao concreta dos objectivos ao nivel do raciocinio
>matematico, decorrente da ausencia duma componente investigativa, que tende
>a reduzir esses mesmos objectivos as tecnicas de calculo e compreensao de
>conceitos (que sao importantes, mas muito insuficientes)
>

Nao sei se percebo a que te referes, mas os objectivos gerais parecem-me
incluir muitos objectivos de "raciocinio matematico". O que se pode dizer
e' que depois lemos o detalhe do programa e nao vemos la' nenhum
concretizado...

>-presenca muito modesta de topicos de matematica discreta (por exemplo,
>grafos, programacao linear e mesmo da estatistica que pouco avanca em
>relacao ao terceiro ciclo)
>

Concordo.

>Antes de entrar em aspectos de maior pormenor, gostaria de conhecer algumas
>reaccoes a estas ideias

Esperemos que o debate se desenvolva francamente.

Jaime




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Jaime Carvalho e Silva
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X-Comment:  Educacao em Matematica

1. Dos programas: desde o inicio, criticas generalizadas quanto
   a extensaeo; ME surdo; resposta posterior: diminuicaeo da 
  escolaridade para 4h/s. Em  1MatForum houve uma tomada de 
  posicaeo muito critica sobre este assunto.

2. Das areas: concordo, mas penso que naeo deve haver 
   escolaridades inferiores a 4h/s.

3. Dos objectivos a nivel de raciocinio: pensar matematicamente,
   desenvolver actividades de exploracaeo em sala de aula, 
   reformular enunciados, conjecturar, demonstrar, validar e institu-
   cionalizar conhecimentos, etc., etc, em 4h/s, com aulas de 50m, 
   sem sala de matematica (lab. de mat.) ? pura utopia.
   Como sou adepto das utopias e de forcar a criacaeo de condicoees 
  para que se possam tornar realidade.

4. Novos topicos -  temas de  matematica discreta - sim numa 
   reformulacaeo coerente.

5. NOTA : Quaisquer que sejam as modificacoees a introduzir, 
   sobretudo as de longo prazo, ha um ponto que e condicaeo 
   sine qua non para o exito - A FORMAcAEO DE PROFESSORES -
   pedra de toque de todo o sistema.

  Ja agora: . urge redignificar a profissaeo PROFESSOR -- COMO?
                  
                  . urge captar bons alunos , (d)os melhores se possivel, 
                    para os cursos de matematica / ensino -- COMO?

  ate breve, Joaeo David Vieira
+----------------------------------
| Joao Carlos David Vieira
| Dep. Matematica
| Universidade de Aveiro
| Email : jdvieira@samantha.mat.pt
| Fax   : (034) 382014
| Telef : 370200 EXT 3407
+----------------------------------

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Jaime,
O que eh o programa FOCO?
Cheers,
Marisa

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Marisa Lucena
KIDLINK KIDFORUM Assistant Coordinator
mwlucena@inf.puc-rio.br
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>Jaime,
>O que eh o programa FOCO?

O programa FOCO e' um programa financiado pela Comunidade Europeia que tem
apoiado (muito a conta gotas) accoes de formacao continua de professores.

Na primeira versao as accoes especificas para o Ensino da Matematica nao
eram apoiadas prioritariamente. Na segunda versao ja' o sao. Contudo e'
preciso que algum organismo proponha accoes para que possam vir a ser,
eventualmente, financiadas.
Segundo informacao que recebi, o Departamento do Ensino Secundario do
Ministerio da Educacao sugeriu em Dezembro passado ao organismo coordenador
do programa FOCO que se realizasse um plano nacional de formacao continua
de professores de Matematica, mas desconheco o seguimento dado a essa
proposta.

Na pratica a formacao continua de professores fica entregue a accoes
voluntaristas de algumas Escolas Superiores de Educacao e Universidades e
'as realizacoes de Sindicatos e associacoes como a Associacao de
Professores de Matematica e as Sociedade Portuguesa de Matematica. Mas
abrangem um numero limitado de professores e nao se integram num plano
nacional que responda 'as multiplas necessidades do Pais.

Jaime







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Jaime,
Obrigada pela informacao. Nunca havia ouvido falar no programa FOCO.
Cheers,
Marisa


>O programa FOCO e' um programa financiado pela Comunidade Europeia que tem
>apoiado (muito a conta gotas) accoes de formacao continua de professores.
>

>----------------------------------------------------------------------
> *Vale mais a queda do que a seguranc,a de estar parado* - "O Mocho"
>----------------------------------------------------------------------

Maravilha!

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Marisa Lucena
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Aqui vao alguns comentarios sobre a proposta de ajustamento dos programas
do ensino secundario.

Duma maneira geral, concordo com o espirito e a maioria das propostas
apresentadas. Nao as indicarei aqui uma por uma (isso ficara' para o
parecer final). Pelo contrario, chamarei a atencao para os aspectos de
ambito geral que me parecem mais controversos.

(1) O uso do computador nao deveria receber mais =EAnfase? As escolas que na=
o
tem esta tecnologia (ou que nao a tem dispon=EDvel para a disciplina de
Matematica) devem no mais curto espa=E7o de tempo passar a ter! A unica form=
a
disso acontecer e' a sua enfase inequivoca nos programas.

(2) Tendo em conta a reconhecida importancia da Matematica discreta (com
que todos parecem concordar) deveria ter havido menos cortes nos temas de
probabilidades e estatistica (nomeadamente o estudo da correlacao -usando a
calculadora grafica - deveria permanecer no programa).

(3)  Entre o tema das conicas e o tema dos numeros complexos, a manutencao
do primeiro parece ser mais aconselhavel. O estudo dos complexos facilmente
degenera em simples calculo e as conicas podem ter um importante valor
formativo, ligando algebra e geometria.

(4) Ser=E1 que vamos assistir ao anacronico regresso da L=F3gica como cap=ED=
tulo
organizado?

Pegando agora numa parte especifica do programa -- relativa as funcoes --,
registo com agrado

-Que se tenha dado enfase ao estudo de fam=EDlias de funcoes
-Que se tenha subordinado finalmente o estudo dos polinomios e das equacoes
ao estudo das funcoes
-Que se tenham evidenciado as funcoes polinomiais (incluindo nestas as
quadraticas)
-A introdu=E7=E3o dos conceitos de tvm e tv

H=E1 no entanto dois aspectos que me parecem fortemente controversos

(1) Introduzem-se funcoes e inequacoes com radicais e indice n  (que nao
existiam no programa anterior), e que nao parecem muito essenciais (com 4
horas semanais nao teremos mesmo que deixar alguma materia destre tipo para
as disciplinas de Analise I?...)

(2) A regra de Rufinni permanece, embora com estatuto inferior ao que tinha
no programa anterior (estava no "desenvolvimento do tema", passa para os
"objectivos") (p. 23); ora, conhecendo-se ou n=E3o alguma raiz, o mais
indicado para decompompor um polinonio em factores sera' usar o programa
DERIVE

Joao Pedro da Ponte

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Numa contribucao de JDVieira, dizia-se o seguinte:

Quaisquer que sejam as modificacoees a introduzir,
   sobretudo as de longo prazo, ha um ponto que e condicaeo
   sine qua non para o exito - A FORMAcAEO DE PROFESSORES -
   pedra de toque de todo o sistema.

  Ja agora: . urge redignificar a profissaeo PROFESSOR -- COMO?

                  . urge captar bons alunos , (d)os melhores se possivel,
                    para os cursos de matematica / ensino -- COMO?

-----------------

Este problema  e' realmente fundamental e penso que deve merecer a nossa
melhor atencao. Tenho para mim a seguinte premissa:

* A dignificacao da profissao do professor de Matematica so' pode ser feita
com o concurso activo e o protagonismo dos proprios professores de
Matematica.


Sem pretender sobre-simplificar, diria ainda que tratando-se de um problema
sistemico, ele so poderr=E1 ser resolvido com uma accao a v=E1rios niveis,
incluindo:

-o estabelecimento da profissao docente como uma profissao a tempo inteiro
(e nao como part-time acumulavel com as actividades mais diversas, muitas
das quais estimuladas pelo pr=F3prio Ministerio da Educacao)
-a criacao dema estrutura de carreira diferente, com patamares
diferenciados de acordo com as funcoes e n=EDvel de qualificacao (pode-se
sugerir varios tipos de especialidades, como o apoio aos alunos com
deficiencias, as novas tecnologias, a formacao, etc.)
-uma efectiva responsabilizacao dos delegados de grupo (o sistema  de
nomeacao tera' que ser completamente diferente, garantindo que quem exerce
estas funcoes sao de facto os mais competentes e com mais capacidades de
lideranca)
-um outro modelo de gestao escolar
-a adopcao de uma postura profissional completamente diferente por parte
dos professores em geral (tempo dedicado 'a escola e 'a colaboracao com os
colegas, definicao do que sao as praticas profissionais recomendadas e nao
recomendadas pela classe, etc.)


E' claro que a formacao (e muito especialmente a auto-formacao) tera de
desempenhar um papel importante neste processo de dignificacao
profissional. Mas nao acredito que empanturrar os professores de formacao,
contra a sua vontade, ou num sistema de cenoura-cacete como no passado
proximo o fez o programa FOCO, represente um progresso muito significativo.


Uma accao que poderia ser de grande alcance era os professores portugueses,
seguindo o exemplo do NCTM, pensarem no que devem ser as suas Normas de
conduta profissionais e como as passar 'a pratica


Mas continua de pe' a questao: como levar o Minist=E9rio 'a adopcao duma
politica coerente de valorizacao das escolas e dos seus recursos humanos? e
para quando uma reforma capaz do sistema de gestao dos estabelecimentos de
ensino?


Joao Pedro da Ponte

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Algumas observacoes:

>(1) O uso do computador nao deveria receber mais enfase? As escolas que nao
>tem esta tecnologia (ou que nao a tem disponivel para a disciplina de
>Matematica) devem no mais curto espaco de tempo passar a ter! A unica forma
> disso acontecer e' a sua enfase inequivoca nos programas.

E' irrealista pensar que o Ministerio vai colocar "software" e computadores
nas Escolas em tempo util. De qualquer modo a maioria dos objectivos
pedagogicos e cientificos que tornam o uso de tecnologia recomendavel estao
incluidos nas calculadoras graficas, ou nao sera'?

>(2) Tendo em conta a reconhecida importancia da Matematica discreta (com
>que todos parecem concordar) deveria ter havido menos cortes nos temas de
>probabilidades e estatistica (nomeadamente o estudo da correlacao -usando a
>calculadora grafica - deveria permanecer no programa).

Os cortes nos temas de Probabilidades e Estatistica foram feitos em
paragrafos que se deram mal com a experimentacao dos novos programas. A
questao principal e': sera' possivel ensinar a correlacao de uma forma
eficaz ao nivel do 10=BA ano de forma a que os alunos fiquem com a nocao
minimamente dominada. Eu gostaria de ver uma abordagem satisfatoria e ainda
nao vi nenhuma.

>(3)  Entre o tema das conicas e o tema dos numeros complexos, a manutencao
>do primeiro parece ser mais aconselhavel. O estudo dos complexos facilmente
>degenera em simples calculo e as conicas podem ter um importante valor
>formativo, ligando algebra e geometria.

Entre os dois "mon coeur balance". Se calhar o melhor e' ficarem os dois
sacrificando algum outro aspecto (qual?). Mas a experiencia diz que o
estudo das conicas e' que degenera mais facilmente em simples calculo.
Equacoes de todos os tipos, formulas para vertices, focos, excentricidade,
etc. Muito calculo existe tambem nos numeros complexos mas desde a
interpretacao geometrica 'a passagem para a forma trigonometrica (em que se
recorre 'a trigonometria) 'a descricao de dominios planos usando numeros
complexos acho que existe uma matematica muito rica. Sem contar com a
introducao historica dos numeros complexos em que os alunos poderao ver uma
ciencia em construcao, e com a possibilidade de se fazerem demonstracoes de
geometria usando numeros complexos (ultima seccao introduzida na proposta
de ajustamento).
Uma possivel abordagem das conicas via seccoes conicas nao parece simples a
este nivel. Talvez a partir da propriedade focal? (Como vem nos livros do
Sebastiao e Silva?)

>(4) Ser=3DE1 que vamos assistir ao anacronico regresso da L=3DF3gica como c=
ap=3DED=3D
>tulo organizado?

A logica nao aparece como capitulo organizado. A logica aparece integrada
num capitulo onde se abordam axiomaticas e resolucao de problemas 'a la
Polya e se estuda uma axiomatica concreta (probabilidades). E os conceitos
logicos ja' aparecem antes no 10 e 11=BA anos (uso de "condicoes",
"proposicoes", etc)

Mas entao eu pergunto: como se vao fazer demonstracoes no Ensino Secundario
sem um estudo mesmo que rudimentar da logica? Parto aqui obviamente do
principio que uma formacao do Ensino Secundario ficara' gravemente
incompleta se os alunos nao contactarem com uma demonstracao que seja mais
do que um simples raciocinio correcto.
Contudo note-se que nao e' um "regresso" pois a logica estava nos Novos
Programas integrada no capitulo de numeros reais.


>(1) Introduzem-se funcoes e inequacoes com radicais e indice n  (que nao
>existiam no programa anterior), e que nao parecem muito essenciais (com 4
>horas semanais nao teremos mesmo que deixar alguma materia destre tipo para
>as disciplinas de Analise I?...)

E' uma opcao discutivel, efectivamente. Mas nao parece ficar desenquadrado
quando se estudam polinomios de grau n e potencias de grau n. Nem se propoe
um estudo formalizado, apenas um primeiro contacto (nao te preocupes que
fica sempre muita coisa para a Analise I...).

>(2) A regra de Rufinni permanece, embora com estatuto inferior ao que tinha
>no programa anterior (estava no "desenvolvimento do tema", passa para os
>"objectivos") (p. 23); ora, conhecendo-se ou n=3DE3o alguma raiz, o mais
>indicado para decompompor um polinonio em factores sera' usar o programa
>DERIVE

Mas aqui a questao nao e' da facilidade de calculo mas do importante
equilibrio entre o trabalho com a tecnologia e o trabalho de papel e lapis.
A regra de Ruffini de facil demonstracao e ainda mais facil uso da' aos
alunos uma visao diferente daquilo que a maquina faz de forma automatica.
Nao e' uma questao cientifica aqui mas sim pedagogica.


Para finalizar: eu gostaria de ver muito mais discussao sobre estes temas.
Infelizmente em Portugal os programas (e nao so' de Matematica e nao so' os
programas) sao feitos um pouco ao sabor do acaso por cinzentoes que pouco
ou nada ligam ao que as pessoas dizem e aos resultados da experiencia e da
investigacao. A Equipa Tecnica esta' a tentar fazer um dialogo alargado (no
pouquissimo tempo disponivel) com todas as pessoas envolvidas, professores,
associacoes de professores e associcoes cientificas, para garantir que se
chega a algo de util e construtivo. Infelizmente algumas pessoas continuam
a alhear-se do processo e outras a criticar a 1a versao como se fosse a
ultima.
Devo dizer que de todas as mensagens aqui passadas farei uma copia para a
Equipa Tecnica, pelo que todas as sugestoes serao importantes.
=46ico a aguardar.
Jaime







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Comentarios sobre a 1=AA versao da Proposta de ajustamento dos
Programas de Matematica do Secundario


A. Questoes de ordem geral

E natural, quando se escreve sobre 'o ajustamento' dos programas do ensino
secundario, tentar perceber se sao apenas cortes, se esta ou nao prevista
uma reformulacao que levante questoes de longo prazo, etc. Para mim estao
claros, depois de ler as consideracoes e propostas da equipa tecnica (ET) e
ainda depois de ter pensado um pouco sobre tudo isto, os seguintes pontos:
1. O que o Ministerio da Educacao (Me) queria eram cortes para resolver um
problema de emergencia que nao quer chamar como tal e que portanto baptizou
como 'ajustamento'...
2. Nao se conhece bem a negociacao entre a ET e o Me, mas a ET acabou por
aceitar fazer estes 'cortes' e apresentar documentos laterais tendentes a
complementar o 'ajustamento' com alguns documentos referentes a condicoes
de funcionamento da proposta, projectos e propostas para o futuro.
3. O mais certo e o Me aceitar (talvez fazendo os seus proprios
ajustamentos suplementares) o 'ajustamento' da ET e deitar para a gaveta os
complementos indispensaveis - por exemplo os respeitantes a condicoes nas
escolas, producao de materiais e outros. Resolve assim a sua emergencia sem
se comprometer com o resto.
4. Desconhecendo se teria sido possivel negociar - mas pensando talvez que
sim, dada a situacao de emergencia em que o Me estava - um acordo mais
favoravel, e compreendendo os motivos (sobretudo aquele que pode ser
expresso pela frase 'dissemos tanto mal - e esta tudo tao mal - que agora e
incrivel recusar uma proposta para melhorar a situacao') de trabalhar numa
tal situacao desfavoravel, o que e certo e que devemos perceber que se a
posicao do Me for a esperada e descrita no ponto anterior, a situacao dos
professores fica porventura melhor perante os programas e a sua extensao,
mas os problemas de fundo sao apenas adiados.
5. Se o Me nao desprezasse totalmente os problemas da educacao e em
particular o lancamento desta reforma, o que deveria ter acontecido era ter
havido uma ET a acompanhar, durante os ultimos anos, a situacao no ensino
secundario (e a mesma ou outras nos outros niveis, esta claro), a pensar na
sua evolucao e a propor uma mudanca evolutiva dos programas, nao so em face
dessa experiencia mas das discussoes que entretanto fosse havendo sobre
quais devem ser as perspectivas a medio e longo prazo do ensino de
matematica no secundario; assim, no proximo outubro, a proposta nao seria
de cortes mas de uma modificacao evolutiva dos programas.
6. Julgo que a perspectiva de que se deve partir e de que nao e possivel
nem desejavel fazer mudancas radicais supostamente validas para muitos
anos, mas que deve haver uma modificacao progressiva dos programas, que
acompanhe as mudancas na formacao inicial e continua dos professores, os
novos objectivos que se vao colocando ao ensino secundario (na sua
tendencia para se tornar geral e obrigatorio), as questoes do acesso ao
ensino superior, a evolucao das perspectivas sobre a matematica e o seu
ensino, a evolucao tecnologica e equipamentos das escolas, etc. etc. essas
modificacoes evolutivas deveriam ser quase continuas, mas como quem manda
em grande parte na reforma sao os editores livreiros, devemos ter que nos
sujeitar a modificacoes perodicas de tres em tres anos. e possivel que
tenhamos que fazer uma modificacao um pouco maior daqui a tres anos ou
quatro, mas a partir daqui temos que ir evoluindo lentamente. Tambem me
parece que o que ha a fazer agora, para o ano, e realmente um ajustamento
sem qualquer aumento de temas e com grandes reducoes de 'materia'. Mas sem
qualquer concessao relativamente e necessidade de evoluir nos metodos de
ensino. a partir desta especie de estaca zero, em que nao devia haver
qualquer receio de cortar demais, poderiamos lentamente ir evoluindo,
comecando ja a pensar para daqui a tres ou quatro anos.
7. A exigencia fundamental e permanente, perante o Me, dos professores e
das suas associacoes profissionais e cientificas, e tambem da actual ET,
deveria ser que o processo de reforma progressiva e todas as questoes
fundamentais para essa reforma (acesso ao ensino superior, objectivos do
ensino secund=E6ario, horas lectivas, etc.) comecem a ser pensadas e
discutidas desde ja, com o objectivo de iniciar este processo evolutivo
daqui a tres ou quatro anos. Mas para isso e fundamental que saibamos o que
queremos e apresentemos ao menos sobre alguns pontos fundamentais ideias
comuns face ao Me. e confrangedor ouvir algumas declaracoes que foram
feitas por professores encarregados da formacao cientifica dos futuros
professores de matematica na 'Matem=E6atica em exame'. Mostraram uma posicao
completamente retrograda e 'apedagogica' em relacao a educacao matematica,
que se poderia pensar ja nao poder existir: o tempo dado a historia da
matematica e despropositado, o que interessa mais sao as tecnicas de
calculo, posicoes defensivas em relacao a utilizacao das calculadoras, etc.
etc. Que formacao inicial cientifica e possivel esperar tendo em conta
estas afirmacoes?
Propuz na ultima reuniao do conselho Nacional da APM que se organizassem
seminarios para reflexao sobre as questoes fundamentais para o futuro do
ensino da Matematica (tipo Milfontes); era bom que a SPM tambem reflectisse
sobre esses pontos e que alguns documentos fossem publicados e postos a
discussao (salvas as devidas proporcoes, como foi feito na america com as
Normas); e urgente uma discussao alargada sobre aquelas questoes, sob pena
de estarmos sempre a resolver no imediato situacoes de emergencia.

B. Questoes gerais sobre a 1=AA versao do ajustamento.

1. Julgo que toda a gente compreende que se esta perante uma tentativa
seria (da parte da ET) de melhorar a situacao. e que existe vontade real de
ouvir outras opinioes e de reflectir sobre elas. e que o resultado final
vai ser quase de certeza uma melhoria em relacao ao que existe no momento.
Portanto neste aspecto a situacao nao tem comparacao com a anterior. Mas
noutros aspectos, infelizmente, tambem nao. A actual ET tem um tempo
limitado (alguns meses em vez de alguns anos) para trabalhar, ainda por
cima sem ser em exclusividade. Esta claro que em principio e so para
ajustar e nao mudar nada de essencial, mas quem seria capaz de fazer isso
perante estes programas...!! Portanto a ET esta a cortar, como lhe era
pedido, mas tambem, como era de esperar, a introduzir outras modificacoes
que nao tem a ver apenas com a extensao dos programas, mas com as suas
ideias implicitas sobre o que deve ser o ensino secundario a medio e longo
prazo. e preciso muito cuidado neste aspecto, pois sera grande a confusao
nas escolas se, alem dos cortes, aparecem metidas pela porta do cavalo uma
serie de pequenas alteracoes que no seu conjunto alteram demasiado a
fisionomia de um programa a que os professores comecaram apenas agora a
habituar-se.
2. A bijeccao temas-periodos escolares e uma mudanca importante e nao deve
ser aceite de animo leve, como se fosse um pormenor e apenas facilitasse e
organizasse a gestao do programa. a ET devia reflectir melhor sobre as suas
consequencias. Se no 10=BA ano isso parece ser uma solucao natural - o
capitulo dos reais era realmente de cortar por inteiro e era um disparate
dividir a geometria em dois grupos - o prolongamento estrito do mesmo
esquema nos dois anos seguintes, sobretudo no 12=BA, constitui um espartilho
que obriga, em meu entender a solucoes erradas: por exemplo, o
desaparecimento por inteiro da geometria do 12=BA ano e o aparecimento de um
capitulo um pouco abstruso - formalizacao e topicos de matematica finita.
Julgo portanto que e inconveniente e forcada a solucao proposta. alem de
que julgo que a maioria dos professores tem maturidade para escolher o seu
proprio roteiro de temas, e a solucao proposta e inflexivel de mais.
3. Nao compreendo a ideia de reunir a logica e a combinatoria num periodo
do 12=BA ano. e ainda menos o que e que os professores vao fazer para ensina=
r
'os metodos de resolucao de problemas segundo Polya'. Sera que os alunos,
depois de dois anos a raciocinar, a argumentar, a provar (a sua maneira,
esta claro) as suas descobertas, vao agora - certamente a seco, pois nao
havera tempo para mais exploracoes e investigacoes - ver como raciocinaram,
como argumentaram, como provaram? e, depois de dois anos, espera-se, a
resolver problemas todos os dias, vao finalmente aprender, agora sim, quais
sao os metodos para resolver problemas? o pior que se pode fazer ao Polya e
precisamente apresenta-lo, como na traducao brasileira, como receitas para
resolver problemas, mesmo que sejam entremeadas por exemplos.
Parece-me que tudo isso, a logica que usamos habitualmente, os metodos,
etc., ao nivel do ensino nao superior, deve ser tratado a proposito e desde
o principio, a par e passo com as actividades e os problemas, e nao
acumulado na parte final. e portanto mais uma questao de orientacoes
metodologicas dso que de conteudos e objectivos especificos, se queremos
falar em termos de colunas. a falar na logica por si propria, talvez o
ideal fosse dizer aos alunos, a proposito talvez do euclides, que ele e nos
usamos a logica do aristoteles, mas que existem outras, em que nao funciona
o principio do terceiro excluido. isso sim poderia ter algum significado
cultural - pode ser que ate se possa fazer um trabalho qualquer com o
professor de Filosofia, neste aspecto, ler, interpretar e discutir um texto
qualquer de filosofia matematica nas aulas de filosofia e de matematica,
por exemplo.

C. Geometria no secundario

O problema da geometria no secundario nao e facil, e este tema esta muito
mal tratado nos programas em vigor. Por isso, meros 'ajustamentos' nunca
nos hao-de satisfazer. Mas, mesmo assim, e possivel pensar em mais do que
um tipo de 'ajustamento'. Nao me parece que a solucao proposta pela ET seja
a melhor, e nem sequer julgo que seja aceitavel. Vejamos porque, e como
poderiamos encontrar em minha opiniao uma solucao mais apropriada - embora
ainda um mero ajustamento - para este periodo transitorio ate ao ano
2000...
1. Uma das poucas ideias interessantes relativas a geometria que os actuais
programas do secundario adoptaram foi a de nao separar a geometria do plano
da geometria no espaco. a proposta da ET ressuscita a velha ideia de dar
num ano geometria plana e no ano seguinte geometria no espaco. isso seria
realmente voltar atras e um grande erro, em minha opiniao. eu sei que ha
muitos professores que resistem a geometria no espaco, e que assim teriam
um ano de geometria no plano para se habituarem a ideia de que tinham que
ensinar geometria. Mas sera isso uma razao para contrariar tudo o que tem
sido estudado e investigado sobre o ensino da geometria, e que condena
claramente a velha sequencia plano ---> espaco? certamente que nos devemos
preocupar com os professores, mas com todos!! Nao sera de pensar tambem nos
outros professores, aqueles que se prepararam para ensinar geometria, que
compreenderam as vantagens de nao separar o plano e o espaco, que ja este
ano deram o programa do 10=BA e que, daqui a um ano, se veriam confrontados
com um passo atras, com a instituicao de novo da sequencia tradicional
plano - espaco. Que professores devemos ter mais em conta... aqueles que
por sua vontade nao progrediriam, cortavam tudo o que nao sabem neste
momento ou que nao gostam... ou aqueles que fizeram e estao a fazer um
esforco para mudarem os seus metodos, que estao dispostos a continuar a
aprender... e que nao sao tao poucos como isso? Alem disso, claramente, a
separacao plano-espaco nao e um 'ajustamento' para diminuir a quantidade de
materia. Trata-se de uma mudanca de filosofia que resultara finalmente num
aumento do tempo necessario para geometria, se for deixado assim.. Havera
necessariamente mais duplicacoes e repeticoes inuteis se for adoptada esta
separacao.
2. Embora a proposta da ET relativa a geometria contenha muitas observacoes
interessantes e recomendacoes correctas sobre o estudo da geometria, temo
que novamente os professores encarem este programa como exclusivamente
tratando a geometria de um ponto de vista analitico, agora dividido em
geometria analitica plana e em geometria analitica no espaco. Tanto mais
que na lista dos cortes vem que foram cortados 'os axiomas e a geometria
sintetica' e por ai da a entender que apenas sobrou a geometria analitica.
3. Depois de ler varias vezes as tres colunas da Geometria dos 10=BA e do 11=
=BA
anos, confesso que nao consigo ficar com uma ideia clara da estrutura do
programa de geometria. Julgo que a razao e haver uma profusao exagerada de
objectivos e de indicacoes metodologicas que se tornam repetitivos. Acho
que muitos ou mesmo todos esses objectivos e essas indicacoes metodologicas
sao justos, e constituem uma grande melhoria em relacao ao que esta, mas
nao seria possivel ser mais conciso e mais claro? Tomemos como exemplo o
10=BA ano e o primeiro desenvolvimento do tema 'Resolucao de problemas
utilizando multiplas perspectivas' e tres dos objectivos apontados:
* 'representar situacoes problematicas com modelos geometricos e aplicar
propriedades de figuras geometricas a sua resolucao'
* 'conhecer propriedades essenciais das figuras geometricas e saber usa-las
em configuracoes simples'
* 'utilizar transformacoes geometricas para o estudo de propriedades de uma
figura'
Entretanto, na coluna das indicacoes metodologicas, e tambem dito 'recordar
e aprofundar conhecimentos ja adquiridos nomeadamente no que respeita as
transformacoes geometricas ja estudadas com vista a recordar e aplicar
propriedades das figuras geometricas'.
Confesso que isto tudo me parece a mesma coisa ou muito parecido e nao
muito operacional. Mas o que acontece e que, a certa altura, depois destas
frases mais ou menos vagas, aparece a geometria analitica, e ai estamos no
concreto:
* o metodo cartesiano...
* referenciais cartesianos
* conjuntos de pontos e condicoes
* distancia entre dois pontos, circunferencia, circulo e mediatriz
*vector livre do plano.
* etc. etc. etc.
Um professor normal, ao mesmo tempo que nao percebe bem o que se pretende
na primeira parte, quando chega a geometria analitica nao tem duvidas, esta
em terreno firme. O resultado sera certamente fazer a despachar algumas
coisas da primeira parte, ou mesmo nenhumas, pois acha que esta a perder
tempo, e passar para as equacoes da circunferencia e tudo o resto.
4. Percebo o esforco que houve para introduzir aspectos modernos do ensino
da geometria, como as multiplas perspectivas na resolucao de problemas ou a
visualizacao e a representacao, mas receio que a ideia da separacao da
geometria em plano e espaco, e a falta de clareza quanto aos conteudos da
parte nao analitica da geometria deitem tudo a perder.
5. Julgo que e possivel propor um ajustamento ao programa de geometria do
secundario em que nao haja separacao entre geometria no plano e geometria
no espaco e em que as perspectiva sintetica e algebrica da geometria sejam
abordadas de modo equitativo. Tentarei desenvolver a minha ideia nos
proximos pontos. Mas apenas em termos muito gerais. Seria preciso dar
exemplos concretos de actividades e explicar com detalhe muitos outros
pontos, e eu nao tenho tempo para isso (nao fui eu que me comprometi a ter
isto pronto em Outubro...)
6. No 10=BA ano o estudo da geometria deveria consistir fundamentalmente na
apresentacao de alguns 'actores' e de alguns 'objectos', proprios da
geometria, que vao intervir ao longo deste ano. Os 'actores' sao a
geometria sintetica, as transformacoes geometricas, as coordenadas e os
vectores. Os 'objectos' sao os poliedros - em particular os platonicos - e
a esfera, e os poligonos - em particular os poligonos regulares - e a
circunferencia. Conviria tambem, como elemento de perturbacao e portanto de
esclarecimento, aparecer um solido que nao fosse um poliedro, e um bom eh a
stella octangula.
7. O trabalho em geometria consistiria numa sequencia de actividades (de
construcao de modelos, de exploracao e investigacao de situacoes e de
resolucao de problemas), de discussoes com toda a turma e de pequenas
exposicoes de sintese feitas pelo professor.
8. O modo de introducao dos 'actores' nao deve consistir em apresentar
completamente um deles e apenas depois entrar o outro (como na proposta da
ET, em que primeiro aparece a geometria sintetica e as transformacoes
geometricas, depois se introduzem as coordenadas e se vai por ai fora ate a
mediatriz e apenas em seguida se passa aos vectores). Os 'actores' devem
ser introduzidos de forma integrada e logo nos primeiros dias, embora
inicialmente da forma mais elementar e intuitiva, de modo que os alunos vao
construindo progressivamente esses conceitos e contactando com as suas
propriedades atraves da sua utilizacao em actividades proprias. Exceptuando
as transformacoes geometricas (em que o caso tridimensional pode ser ou nao
introduzido ja no 10=BA), os outros 'actores' sao introduzidos no plano e no
espaco ao mesmo tempo ou com um muito pequeno intervalo de tempo.
9. Comparativamente ao actual programa, no 10=BA ano poderia chegar-se a
distancia de dois pontos (plano e espaco), a norma de um vector (plano e
espaco) e a definicao de regioes do plano e do espaco por equacoes e
inequacoes. Os alunos devem ficar a compreender que as coordenadas permitem
definir regioes do espaco atraves de condicoes (na forma de equacoes ou de
inequacoes) mas em meu entender nao ira haver tempo para entrar alem disso
nas varias equacoes de rectas, de planos, da circunferencia, etc. ou seja,
trata-se sobretudo de ficar a conhecer atraves de experiencias multiplas os
tais 'actores' perceber das suas possibilidades e como funcionam, e como
uns sao uteis numas situacoes e outros noutras.
10. No 11=BA ano, trata-se de prolongar este tipo de trabalho com novas
exploracoes e actividades, com os mesmos 'actores' (introduzindo agora as
transformacoes no espaco), e ampliando os 'objectos'.
11. Talvez o melhor seja deixar ao professor, dando sugestoes, a escolha
dos 'objectos' a acrescentar - poderiam ser novas familias de poliedros
(arquimedianos, ou deltaedros, ou...) ou corpos redondos - cone, cilindro;
ou ainda pavimentacoes, ou frisos. Aqui os autores de manuais escolares
tambem podem exercer a sua imaginacao.
12. Quanto a novos tipos de actividades, tambem ha muitas direccoes em que
caminhar, e poderiam sugerir-se ao professor, como opcao, actividades
ligadas com pavimentacoes (plano e espaco) ou actividades ligadas com
transformacoes de simetria, ou com disseccoes, etc. etc. Desde o 10=BA ano
que as capacidades de representacao (pelo menos a perspectiva cavaleira)
deveriam ser sistematicamente desenvolvidas.
13. Quanto a analitica e aos vectores, que continuariam a ser tratados de
forma integrada e nao uns a seguir aos outros, poderia ir-se agora ate a
equacao da circunferencia e da superficie esferica, do plano, da recta
(plano e espaco). Mas em minha opiniao o produto escalar e tudo o que isso
composta deve ser eliminado como tema obrigatorio, pois nao ha tempo para
isso.
14. Note-se que dizer que nao e tema obrigatorio nao implica que o produto
escalar nao possa aparecer integrado numa actividade, em que se apresenta a
definicao e depois se exploram algumas implicacoes dela. Se um professor
vir que tem tempo e que isso interessa os seus alunos de uma determinada
turma, e evidente que pode fazer prolongamentos, seja em relacao ao produto
escalar seja a outros topicos.
15. Quanto ao 12=BA ano, parece-me que tem que ter algum tempo dedicado a
geometria (mesmo que seja necessario reduzir um pouco as horas de geometria
no 11=BA ano). E completamente inadmissivel, do ponto de vista cultural, que
os alunos tenham feito 12 anos de matematica e fiquem no fim do sec. XViii.
A minha proposta, portanto, e que algum tempo no 12=BA ano seja dedicado aos
seguintes topicos: o significado e a importancia historica e filosofica da
tentativa de Euclides de escrever toda a geometria de forma axiomatica, e o
aparecimento das geometrias nao euclidianas e as suas consequencias
filosoficas. Estes topicos seriam introduzidos sobretudo na sua vertente
historica, e acompanhados apenas de algumas actividades (geometria esferica
e geometria do motorista de taxi, por exemplo). Estou a partir do principio
que os alunos ensaiaram algumas demonstracoes, nos dois anos de geometria
anteriores, do seguinte tipo: se admito isto, entao aquilo e verdade.
Habituaram-se assim a uma certa organizacao local da matematica.
compreenderao entao sem dificuldade a tentativa de Euclides de passar a
organizacao global.
15. Nota importante: e preciso perceber-se que nada do que se ensina em
Geometria (e no resto tambem,. esta claro), no meu ponto de vista, eh dado
com a intencao primordial de que os alunos fiquem, para o resto da vida, a
saber de cor como e a equacao da circunferencia, qual e a formula da
distancia de um ponto a um plano, etc. etc.  Uns ficarao, outros nao. Mas
todos experimentarao, explorarao, investigarao, adquirirao habitos de
pensamento, aprenderao a argumentar, compreenderao melhor como sao os
processos matematicos de atacar problemas, terao maior confianca nas suas
capacidades de aprender, de criar, de descobrir. e farao isso durante tanto
tempo quanto possivel - se experimentarem durante mais tempo, melhor, se
houver menos tempo, pior. Mas a ansiedade de 'cumprir o programa'
diminuira. com esta perspectiva. Muitos alunos, a maior parte, se forem
para a universidade, terao esquecido muitos dos conteudos, mas talvez nao o
gosto e o habito de pensar. Talvez alguns professores da Universidade
continuem a dizer que entram la mal preparados. Penso que nao, e quanto ao
produto escalar e a distancia de um ponto a um plano, la estao os
professores da universidade para os ensinar se for preciso, que eh para
isso que se lhes paga...
No que diz respeito aos exames, enquanto nao lhe conseguirmos acabar com a
raca, devem adapar-se a esta perspectiva (e nao o contrario, como e
costume). Portanto, devem os exames nos enunciados conter todas as
informacoes necessarias, reduzindo os pressupostos a um minimo razoavel, e
permitindo consultas, esta claro, e a utilizacao de calculadoras de todos
os tipos. O que o examinador deve andar a procura deve ser a capacidade de
atacar problemas, de planear uma investigacao, de persistencia na procura
de um caminho. Nao de pericia na aplicacao de tecnicas rebuscadas.

Eduardo Veloso
30.5.95



Eduardo Veloso
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X-Comment:  Educacao em Matematica

Alguns comentarios:

>>(1) O uso do computador nao deveria receber mais enfase? As escolas que na=
o
>>tem esta tecnologia (ou que nao a tem disponivel para a disciplina de
>>Matematica) devem no mais curto espaco de tempo passar a ter! A unica form=
a
>> disso acontecer e' a sua enfase inequivoca nos programas.(J.P.Ponte)
>
>E' irrealista pensar que o Ministerio vai colocar "software" e computadores
>nas Escolas em tempo util. De qualquer modo a maioria dos objectivos
>pedagogicos e cientificos que tornam o uso de tecnologia recomendavel estao
>incluidos nas calculadoras graficas, ou nao sera'? (J.C.Silva)
>
Julgo que nao devemos esperar ate que haja computadores em todas as escolas
para comecar a dar maior enfase aos computadores. Em muitas escolas ja
existem equipamentos que permitem fazer muita coisa com computadores,
simplesmente estao reservados para as disciplinas tecnologicas e os
professores de matematica teem dificuldades de acesso. Se ao mesmo tempo os
programas dao pouca enfase as computadores, que argumentacao teem os
professores de matematica para exigir condicoes de acesso a essas salas
fechadas a sete chaves onde estao os computadores. Estamos a perder muito
tempo e nao podemos deixar para o ano 2001 comecar a fazer propostas
concretas de utilizacao dos computadores em certas partes do programa. O
Cabri 2.0 eh um programa muito bom para fazer investigassoes em geometria
(e nesta versao nas ligacoes entre a geom. sintetica e analitica e de
transformacoes). E nao vai ser substituivel pela nova calculadora da
Texas,( que vai custar 40 contos, para onde pode olhar um aluno e meio em
vez de tres ou quatro como num computador que custa cento e tal e pode
fazer muito mais coisas). mesmo que tenha o Cabri e se possam la fazer
triangulos com meio centimetro de lado. E ha outros programas, como o
Geometry Inventor, que permitem a ligacao entre a geometria e a analise de
uma maneira muito atractiva. Nao ha calculadora que chege para isso.

>
>>(3)  Entre o tema das conicas e o tema dos numeros complexos, a manutencao
>>do primeiro parece ser mais aconselhavel. O estudo dos complexos facilment=
e
>>degenera em simples calculo e as conicas podem ter um importante valor
>>formativo, ligando algebra e geometria.(J.P.Ponte)
>
>Entre os dois "mon coeur balance". Se calhar o melhor e' ficarem os dois
>sacrificando algum outro aspecto (qual?). Mas a experiencia diz que o
>estudo das conicas e' que degenera mais facilmente em simples calculo.
>Equacoes de todos os tipos, formulas para vertices, focos, excentricidade,
>etc. Muito calculo existe tambem nos numeros complexos mas desde a
>interpretacao geometrica 'a passagem para a forma trigonometrica (em que se
>recorre 'a trigonometria) 'a descricao de dominios planos usando numeros
>complexos acho que existe uma matematica muito rica. Sem contar com a
>introducao historica dos numeros complexos em que os alunos poderao ver uma
>ciencia em construcao, e com a possibilidade de se fazerem demonstracoes de
>geometria usando numeros complexos (ultima seccao introduzida na proposta
>de ajustamento).
>Uma possivel abordagem das conicas via seccoes conicas nao parece simples a
>este nivel. Talvez a partir da propriedade focal? (Como vem nos livros do
>Sebastiao e Silva?) (J. C. Silva)

Eu tambem tenho imensa pena das conicas mas nem pensar em deixar os
complexos e as conicas. Como eh absurdo dar apenas quatro horas para a
matematica, entao eh natural que o programa fique absurdo, por exemplo sem
conicas. Ah espera que o problema das horas seja resolvido e possam entrar
outra vez. O pior que podemos fazer eh compor um programa que nao pareca
absurdo, com um pouco de tudo. Eu acho que e regra agora eh cortar a
direito e deixar um programa de tal modo curto que possa ser dado em quatro
horas de uma maneira decente, ou seja seguindo as opcoes metodologicas que
veem na terceira coluna e que me parecem bastante aceitaveis como estao. Os
professores ficam pouco ansiosos com o tempo, experimentam novos metodos, e
depois ah medida que se forem habituando e que o tempo for aumentando,
poder-se-ah ir incluindo novos ou recuperando antigos temas.

>A logica nao aparece como capitulo organizado. A logica aparece integrada
>num capitulo onde se abordam axiomaticas e resolucao de problemas 'a la
>Polya e se estuda uma axiomatica concreta (probabilidades). E os conceitos
>logicos ja' aparecem antes no 10 e 11=3DBA anos (uso de "condicoes",
>"proposicoes", etc) (J. P. Ponte)
>
>Mas entao eu pergunto: como se vao fazer demonstracoes no Ensino Secundario
>sem um estudo mesmo que rudimentar da logica? Parto aqui obviamente do
>principio que uma formacao do Ensino Secundario ficara' gravemente
>incompleta se os alunos nao contactarem com uma demonstracao que seja mais
>do que um simples raciocinio correcto.
>Contudo note-se que nao e' um "regresso" pois a logica estava nos Novos
>Programas integrada no capitulo de numeros reais. (J. C. Silva)

Eu acho que deve haver demonstracoes ao longo do decimo e do decimo
primeiro, e nao apenas no decimo segundo. Mas ao mesmo tempo penso que
acumular a logica toda no decimo segundo eh um erro. Demonstracoes simples
podem fazer-se logo na geometria do decimo, por exemplo. Ao fazer uma
investigacao sobre cortes feitos por um plano num cubo, um aluno conjectura
que nunca pode obtar pentagonos regulares como corte. Pede-se-lhe que
demonstre, e se for preciso da-se-lhe a sugestao que utilize o facto de que
num  pentagono regular nao existem lados paralelos. Ele, passado um pouco,
aparece com as seguintes frases:
- para um plano cortar um cubo segundo um pentagono, tem que cortar 5 faces;
- em 5 faces de um cubo, ha sempre quatro paralelas duas a duas
- se um plano corta dois planos paralelos, obteem-se rectas paralelas
- entao o pentagono que se obtem no corte tem quatro lados paralelos dois a =
dois
- logo nao pode ser regular
Pois bem, isto e uma demonstracao, acho eu. Qual a logica que e necessaria
para chegar a esta demonstracao? A que ele aprendeu com a mae, quando era
pequenino e ela lhe dizia frases como a seguinte: ou te portas bem ou nao
vais ao cinema! Mas esta claro que eu acho que depois de um aluno ter
feito, mesmo com alguma ajuda, esta demonstracao, deve haver uma reflexao
sobre a construcao em sequencia daqueles frases e ai eh que pode comecar a
falar-se um pouco de logica. mas a proposito e de modo nenhum por atacado
no decimo segundo ano.


Continuarei noutro dia, se Deus quiser...

Eduardo Veloso



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Mais comentarios:

>Julgo que nao devemos esperar ate que haja computadores em todas as escolas
>para comecar a dar maior enfase aos computadores.

Obviamente. Mas e' ou nao dada maior enfase na 1. versao do Ajustamento? A
enfase vai ou nao na direccao correcta? Essa enfase e' ou nao suficiente
para se explorarem de diversos modos o computador na aula de Matematica?
Aquilo que o Joao Ponte referiu era se a enfase nao devia ser ainda maior.
Devera'? Sera' mesmo realista ou nao estaremos a por o carro 'a frente dos
bois?

A recomendacao relativa aos Laboratorios de Matematica inclui os
computadores. Nao ha' por isso razao para as Escolas nao reinvidicarem esse
material caso nao haja na Escola, ou reinvidicarem o uso dos computadores
caso eles ja' existam na Escola.

E uma das recomendacoes do Ajustamento e' relativa ao uso do
Cabri-Geometre. E' realmente um programa espectacular de potencialidades
ainda muito pouco exploradas.
Agora pergunto: deve dizer-se que *tem* de se usar o Cabri-Geometre? A
recomendacao actualmente proposta e' suficiente? Deve ser apresentada de
outro modo?

>triangulos com meio centimetro de lado. E ha outros programas, como o
>Geometry Inventor, que permitem a ligacao entre a geometria e a analise de
>uma maneira muito atractiva. Nao ha calculadora que chege para isso.

Mas ninguem disse que as calculadoras substituem os computadores. Eu disse
que "a maioria dos objectivos pedagogicos e cientificos que tornam o uso de
tecnologia recomendavel estao incluidos nas calculadoras graficas, ou nao
sera'?"

>Eu tambem tenho imensa pena das conicas mas nem pensar em deixar os
>complexos e as conicas. Como eh absurdo dar apenas quatro horas para a
>matematica, entao eh natural que o programa fique absurdo, por exemplo sem
>conicas. Ah espera que o problema das horas seja resolvido e possam entrar
>outra vez.

Nao, eu espero que as pessoas e instituicoes finalmente acordem e tomem
accoes mais consequentes que levem o Ministerio a (re)ver a realidade. Isso
nao foi conseguido ate' hoje. E ja' passaram 6 anos! Parece que as pessoas
se resignam a dizer que se da' quando na realidade nao se da' ou se refere
apenas "en passant" e que baixam os bracos quando a Prova de Afericao e
Prova Especifica revelam medias nacionais 'a roda de 20% !.

>O pior que podemos fazer eh compor um programa que nao pareca
>absurdo, com um pouco de tudo.

Concordo toalmente. Com uma nuance: um programa com um pouco (muito pouco)
de tudo continua a ser absurdo.

>Eu acho que e regra agora eh cortar a
>direito e deixar um programa de tal modo curto que possa ser dado em quatro
>horas de uma maneira decente, ou seja seguindo as opcoes metodologicas que
>veem na terceira coluna e que me parecem bastante aceitaveis como estao. Os
>professores ficam pouco ansiosos com o tempo, experimentam novos metodos, e
>depois ah medida que se forem habituando e que o tempo for aumentando,
>poder-se-ah ir incluindo novos ou recuperando antigos temas.

Ou seja: e' realista, e' possivel, nao e' optimismo exagerado, ir
caminhando para uma melhoria.

>Eu acho que deve haver demonstracoes ao longo do decimo e do decimo
>primeiro, e nao apenas no decimo segundo. Mas ao mesmo tempo penso que
>acumular a logica toda no decimo segundo eh um erro. Demonstracoes simples

Raciocinios e' uma coisa. Demonstracoes formais "'a Euclides" e' outra.
Desde a Escola primaria que os alunos devem fazer raciocinios. Mas
demonstracoes formais devem fazer quando?
Alem do mais no Ajustamento esta' indicado (por duas vezes no 10 e 11 anos)
que as diversas nocoes logicas podem ser introduzidas gradualmente.

>sobre a construcao em sequencia daqueles frases e ai eh que pode comecar a
>falar-se um pouco de logica. mas a proposito e de modo nenhum por atacado
>no decimo segundo ano.

Mas a ideia (eventualmente utopica) nao e' para ser por atacado pois e'
integrado num tema onde a vao usar na teria de conjuntos e nas
probabilidades, temperado com a referencia a metodos de demonstracao e a
metodos de resolucao de problemas "'a la Polya"(nao tem de ser "o" livro do
Polya!).
Como existe um unico tema, e' deixado aos professores muito espaco para
criatividade e interligacao dos diversos temas. Teremos de ser mais
explicitos dizendo que as coisas estao no mesmo tema mas nao sao
necessariamente para serem tratadas em sequencia desconexa? Sera' mesmo
necessario?


>Continuarei noutro dia, se Deus quiser...

Fico 'a espera da continuacao (Deus quer de certeza!).

Jaime



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Jaime Carvalho e Silva
Departamento de Matematica
Universidade de Coimbra
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3000 Coimbra
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X-Comment:  Educacao em Matematica

Aqui v=E3o mais alguns coment=E1rios sobre a proposta de ajustamento dos pro=
gramas.

1) Computadores e calculadoras

"E' irrealista pensar que o Ministerio vai colocar "software" e computadores
nas Escolas em tempo util. De qualquer modo a maioria dos objectivos
pedagogicos e cientificos que tornam o uso de tecnologia recomendavel estao
incluidos nas calculadoras graficas, ou nao sera'?"


Estamos a n=E3o a discutir o programa de Matem=E1tica que vai vigorar at=E9 =
ao
final da d=E9cada? Se estamos, n=E3o vejo como podemos dispensar de introduz=
ir
finalmente os computadores na sala de aula: na geometria (programas como o
Cabri que podem ser importantes para a "resolu=E7=E3o de problemas segundo
m=FAltiplas perspectivas") e no c=E1lculo alg=E9brico e na inicia=E7=E3o =E0=
 an=E1lise,
onde Derive que =E9 um importante auxiliar.

As calculadoras s=E3o um intrumento precioso, mas, com as capacidades que t=
=EAm
neste momento, adaptam-se sobretudo ao estudo de fun=E7=F5es e da estat=EDst=
ica.
Ora, a tecnologia deve ter tamb=E9m um papel importante na aprendizagem das
restantes mat=E9rias deste n=EDvel de ensino.

Uma transforma=E7=E3o que penso que ter=E1 de ocorrer nas escolas =E9 a de=
 dotar os
grupos de Matem=E1tica com computadores pr=F3prios, um ou dois data-shows, e=
 o
software essencial (meia d=FAzia de programas ser=E1 suficiente para come=E7=
ar).
A este respeito, penso que =E9 uma m=E1 aposta pensar que a disciplina de
Matem=E1tica vai viver dos computadores da sala de inform=E1tica da escola. =
Tal
como as outras disciplinas cient=EDficas (F=EDsica, Qu=EDmica, Biologia), qu=
e
precisam de ter os seus computadores no laborat=F3rio, a matem=E1tica precis=
a
de ter em cada escola o seu espa=E7o pr=F3prio com os seus computadores e o =
seu
software.

=C9 =E0 volta desse equipamento e desse espa=E7o que se vai desenvolver (em
conversas e experimenta=E7=F5es informais) grande parte a compet=EAncia
profissional em lidar com estes instrumentos. =C9 a=ED que muitas ideias v=
=E3o
germinar. =C9 essencial que os professores de Matem=E1tica percebam que n=E3=
o d=E1
para adiar mais. Chegou a hora de tratar o computador por tu. N=E3o me
preocupa que algumas escolas comecem com dificuldades, com pouco material e
muitas queixas de que n=E3o t=EAm forma=E7=E3o.

Neste ponto penso que poderemos ter at=E9 algum optimismo. Conhecendo a
din=E2mica anteriormente gerada nas escolas com o computador e a
sensibilidade que certos sectores do Minist=E9rio continuam (apesar de tudo!=
)
a ter nesta mat=E9ria, parece-me que dotar todas as escolas secund=E1rias=
 com o
equipamento e software necess=E1rios em Setembro de 1997, ou, o mais tardar
em Setembro de 1998, n=E3o =E9 de todo irrealista.


2) Conceito de correla=E7=E3o etc.

"A questao principal e': sera' possivel ensinar a correlacao de uma forma
eficaz ao nivel do 10=BA ano de forma a que os alunos fiquem com a nocao
minimamente dominada. Eu gostaria de ver uma abordagem satisfatoria e ainda
nao vi nenhuma."

O que se fez em muitas escolas com os conceitos de covari=E2ncia e correlacao
foi uma barbaridade. Pegou-se na f=F3rmula e toca a fazer contas e mais
contas... =E0 m=E3o. Nos casos mesnos piores usou-se a calculadora para
adicionar as parecelas. =C0 falta de outras ideias, fez-se a abordagem em
termos de c=E1lculo puro.

Claro que esta experi=EAncia =E9 muito negativa. Mas n=E3o vejo que nao possa ser
facilmente alterada, se houver o desenvolvimento de materiais desej=E1vel e a
correspondente forma=E7=E3o de professores. N=E3o =E9 neste mesmo=
 pressuposto que
se avan=E7a com a proposta do estudo de fam=EDlias de fun=E7=F5es?

Penso que tanto o conceito de correla=E7=E3o como o de regress=E3o podem ser
introduzidos como instrumento de interpreta=E7=E3o de rela=E7=F5es entre var=
i=E1veis,
procurando-se ver como diferentes conjuntos de dados conduzem a valores
muito diferentes destes par=E2metros. A an=E1lise das f=F3rmulas pode num segundo
momento esclarecer o porqu=EA de certas varia=E7=F5es. Trata-se de abandonar o
m=E9todo <primeiro: o c=E1lculo; segundo: aplica=E7=E3o>
para instituir em seu lugar a abordagem que come=E7a pela aplica=E7=E3o e conduz
=E0 an=E1lise e =E0 investiga=E7=E3o, reduzindo o c=E1lculo ao q.b. A calculadora
gr=E1fica (ou o uso do computador) pode representar neste t=F3pico uma
aut=EAntica revolu=E7=E3o.

Os alunos t=EAm andado a fazer histogramas e gr=E1ficos de barras j=E1 desde o
prim=E1rio. J=E1 ouviram falar n=E3o sei quantas vezes em m=E9dia, mediana e moda.
Nalguns casos (dependendo dos livros adoptados) trabalharam mesmo com
vari=E1veis cont=EDnuas e com dados agrupados. O que lhes reserva de novo o 10=BA
ano?

Introduzem-se os diagramas de extremos e quartis e as medidas de dispers=E3o
(amplitude, vari=E2ncia e desvio-padr=E3o). Nas aulas previstas no programa
ajustado podia-se fazer muito mais.

Na verdade, parece-me lament=E1vel que em termos de estat=EDstica o programa do
secund=E1rio pouco avance em rela=E7=E3o ao do 3=BA ciclo. O unico resultado sera' o
de desmotivar por completo os alunos em rela=E7=E3o a este tema.

3) E por hoje =E9 tudo. Os coment=E1rios =E0s outras quest=F5es=
 (nomeadamente a analise e a geometria) ficam para outra altura.

Joao Pedro

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