Reply-To: sem@cc.fc.ul.pt
Originator: sem@cc.fc.ul.pt
Sender: sem@cc.fc.ul.pt
Precedence: bulk

X-Comment:  Educacao em Matematica

Ola' a todos,

Gostaria de ter acesso ao arquivo das mensagens relativas a discussao sobre
o documento de habilitacoes para a docencia.

Obrigada,

Ana Boavida

Reply-To: sem@cc.fc.ul.pt
Originator: sem@cc.fc.ul.pt
Sender: sem@cc.fc.ul.pt
Precedence: bulk

X-Comment:  Educacao em Matematica

Brevemente estara' disponivel no WWW de Coimbra um arquivo com todas as
discussoes tidas neste forum.
Jaime


/////////////////////////////////////////////////////////////////////
Jaime Carvalho e Silva
Departamento de Matematica
Universidade de Coimbra
Apartado 3008
3000 Coimbra
PORTUGAL
Phone(office): 351-39-28097/8/9,351-39-29485,351-39-29539,351-39-29882
Fax: 351-39-32568
E-mail:jaimecs@mat.uc.pt
WWW home page: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/index.html

Reply-To: sem@cc.fc.ul.pt
Originator: sem@cc.fc.ul.pt
Sender: sem@cc.fc.ul.pt
Precedence: bulk

X-Comment:  Educacao em Matematica

Ola bom dia a todos

Sou o administrador do listserv onde a lista SEM esta a operar e reparei na
discussao sobre o assunto dos arquivos.

chamo a atencao para o facto de que existe um arquivo que e feito automatica-
mente para a lista.

Podem obter o indice das pecas de arquivo com uma mensagem para

listserv@cc.fc.ul.pt

e com 

index SEM

como texto do mail

_________________________________________________________________________

Pedro C Reis Rodrigues                  Centro de Calculo
                                        Faculdade de Ciencias
                                        Universidade de Lisboa
Email   Pedro.Rodrigues@cc.fc.ul.pt
        reis@cc.fc.ul.pt

Reply-To: sem@cc.fc.ul.pt
Originator: sem@cc.fc.ul.pt
Sender: sem@cc.fc.ul.pt
Precedence: bulk

X-Comment:  Educacao em Matematica

As seguintes questoes enviadas por Carlos Albuquerque, por parecerem de 
interesse geral vou responder para a lista 

nota:
todos os mails para pedir servicos indicados adiante devem ser enviados para

listserv@cc.fc.ul.pt 

>
>   Sou um subscritor da SEM e gostaria de por tres questoes:
>
>1) Ja enviei um mail para o listproc e recebi o indice. Como posso
>   ter acesso aos textos das mensagens?

para obter as mensagens de um arquivo enviar um mail com

get  sem  sem.dia

nota dia e o dia do ano tal como aparece no pedido de index da lista

>
>2) No indice das mensagens parecem nao estar todas seguidas. Como
>   e feita a seleccao das que ficam ou nao ficam?

As mensagens sao todas arquivadas mas os titulos que figuram sao
os da primeira mensagem de cada dia.
Existe no entanto a possibilidade de fazer pesquisas no interior do
arquivo por uma palavra chave se isso for necessario (ver help)
  
>
>3) Numa contribuicao que enviei para a SEM surgiram uma serie 
>   de caracteres estranhos (sinais =20 )que nao estavam na 
>   mensagem original. Como e que se pode evitar isso?
>

Essa mensagem foi enviada com o Eudora e deixando que o proprio eudora mude de
linha
isso pode ser evitado mudando manualmente de linha ou mudando as configuracoes
de formatacao de texto do Eudora para os valores adequados



Para obter informacao sobre a manipulacao do listserv enviar um mail com

help

como unico conteudo

A informacao enviada como resposta e bastante esclarecedora

mais uma vez nao esquecer que para pedidos de servicos o endereco e

listserv@cc.fc.ul.pt  

_________________________________________________________________________

Pedro C Reis Rodrigues                  Centro de Calculo
                                        Faculdade de Ciencias
                                        Universidade de Lisboa
Email   Pedro.Rodrigues@cc.fc.ul.pt
        reis@cc.fc.ul.pt

Reply-To: sem@cc.fc.ul.pt
Originator: sem@cc.fc.ul.pt
Sender: sem@cc.fc.ul.pt
Precedence: bulk

X-Comment:  Educacao em Matematica

Seccao de Educacao e Matematica
da Sociedade Portuguesa de Ciencias de Educacao



Parecer sobre a Proposta do Subgrupo de Trabalho das Habilitacoes
para a Docencia da Disciplina de Matematica

(Nota: versao 1 e versao 2 do documento do Subgrupo esta nos arquivos do FOR=
UM)


        A Seccao de Educacao e Matematica da Sociedade Portuguesa de
Ciencias de Educacao considera largamente desactualizadas e carentes de
revisao as determinacoes legais respeitantes 'a formacao de professores
para a disciplina de Matematica dos segundo e terceiro ciclos do ensino
basico e ensino secundario. Neste sentido, vem por este meio tornar publica
a sua posicao nesta mate'ria sobre a proposta final elaborada pelo Subgrupo
de Trabalho sobre Habilitacoes para a Docencia da disciplina de Matematica.

        1.-Esta Seccao considera fundamental que a preparacao de
professores de qualquer destes n=EDveis de ensino inclua uma vertente de
formacao geral tal como e' referido no Decreto 344/89 de 11 de Outubro,
contemplando as componentes "de formacao pessoal, social, cultural,
cient=EDfica, tecnologica, te'cnica ou art=EDstica ajustada 'a futura
docencia". A formacao de professores nao se pode limitar assim a
disciplinas de =EDndole estritamente cient=EDfica, didactica, de ciencias de
educacao e pratica pedagogica, mas tem de incluir outras areas (Por
exemplo, disciplinas da area de Portugues, Cultura Portuguesa, Historia das
Ciencias, Educacao Artistica). A proposta apresentada pelo Subgrupo de
Trabalho, nao contemplando minimamente esta vertente, e' neste ponto, no
nosso entender, incompleta.

        2.-Esta Seccao considera completamente errado, sob o ponto de vista
pedagogico, a existencia de um leque alargado de disciplinas no quinto e
sexto anos de escolaridade. Enquanto nao for poss=EDvel rever esta situacao,
torna-se indispensavel garantir que os professores deste n=EDvel de ensino
tenham pelo menos uma dupla valencia -- leccionando as disciplinas de
Matematica e Ciencias. Por outro lado, e' manifesta a impossibilidade de
formar professores simultaneamente capazes de leccionar todas as areas
tematicas do primeiro ciclo e Matematica e Ciencias no segundo ciclo, o que
exige igualmente uma revisao da legisla-cao nesta mate'ria. Neste sentido,
parece-nos mais razoavel a alternativa 1 apresentada pelo Subgrupo de
Trabalho para a formacao de professores do segundo ciclo.

        3.-Esta Seccao considera que, no seu conjunto, a proposta denuncia,
na respectiva concepcao, um peso excessivo atribu=EDdo aos conteudos
programaticos na componente de conhecimentos matematicos. Na pratica nao
chega a tomar em consideracao os aspectos relacionados com as atitudes e
capacidades matematicas a desenvolver nos alunos. E' em funcao dos
conhecimentos dos programas dos diversos n=EDveis de ensino que sao
apresentados e justificados os temas a incluir nos perfis de formacao,
ignorando-se na pratica as implicacoes das outras vertentes dos curr=EDculos
(objectivos, metodologias) e outras determinantes igualmente essenciais
sobre a accao e a formacao do professor (como a compreensao da natureza da
sua disciplina, a accao na sala de aula e a articulacao entre a
aprendizagem da Matematica e a educacao do aluno).

        4.-O parecer em apreco valoriza a formacao didactica,
atribuindo-lhe um numero de cre'ditos significativo. Na verdade, a formacao
didactica e' essencial. Desempenha um papel de charneira entre a formacao
cient=EDfica, a formacao em ciencias da educacao e a pratica pedagogica e
deve, por isso, ser considerada como uma area individualizada. Na
generalidade concordamos com os cre'ditos atribu=EDdos para qualquer dos
ciclos de estudo em analise (15 ou 18 no segundo ciclo, 21 no terceiro
ciclo e no ensino secundario).

        5.-A concepcao do que e' a didactica que transparece das areas em
que, na proposta, esta se subdivide parece-nos, no entanto, incorrecta. Na
proposta do Subgrupo de Trabalho aparecem tres dom=EDnios de conteudo
(Didactica da Algebra e Analise, Didactica da Geometria e Didactica da
Matematica Finita) e duas areas transversais (Tecnologia no Ensino da
Matematica e Didactica da Resolucao de Problemas). Existem dom=EDnios
important=EDssimos da Didactica da Matematica que nao sao deste modo
contemplados. Na verdade, a Didactica da Matematica, para ale'm dos
aspectos espec=EDficos relativos a diversas areas desta ciencia, inclui
tambe'm:

        a) Uma analise da natureza da Matematica (como corpo de saber, como
actividade, como fenomeno social) que envolve:
-a discussao sobre os processos matematicos (incluindo conjecturas,
refutacoes, provas, resolucao de problemas, modelacao)
-a relacao entre a Matematica e as outras ciencias e a vida real
-o estudo da transposicao didactica
-o estudo das representacoes sociais relativamente 'a Matematica

        b) O estudo da evolucao do curr=EDculo, em termos das grandes
movimentos e orientacoes, bem como a discussao dos seus diversos aspectos
(incluindo objectivos, me'todos, materiais, conteudos, avaliacao) e suas
inter-relacoes;

        c) O estudo de situacoes de ensino-aprendizagem, sua preparacao,
conducao e avaliacao, que incluem temas como a natureza das tarefas de
aprendizagem, interaccao, comunicacao e discurso na sala de aula, a
negociacao de significados matematicos, o ambiente de aprendizagem, a
gestao das diversas formas de trabalho, etc.

        d) O estudo dos processos da aprendizagem da Matematica, concepcoes
dos alunos, estrate'gias de racioc=EDnio, factores sociais e culturais e
dificuldades de aprendizagem.

        e) O estudo do papel da tecnologia e de outros materiais no
processo de ensino-aprendizagem (este seria naturalmente um subtema de (b)
e (c) se nao adquirisse hoje em dia grande import=E2ncia dado o quase
completo analfabetismo nesta mate'ria dos alunos portugueses do ensino
superior).

        Deste modo, consideramos que a proposta do Subgrupo de Trabalho da
um peso exagerado 'a didacticas dos assuntos espec=EDficos (que nosso nosso
entender nao devem assumir mais do que 50% do peso total dos cre'ditos
atribu=EDdos a esta area). Para nao compartimentar demasiado o perfil de
formacao propomos a constituicao de uma area denominada Metodologia do
Ensino da Matematica, a incluir os temas (a), (b), (c) e (d) indicados
acima - uma vez que o (e) ja vem contemplado na proposta.

        6.-Deste modo, somos de parecer que a proposta do Subgrupo de
Trabalho deve ser completada e, nalguns aspectos significativamente
reformulada, para o que sugerimos que o debate seja alargado 'as
instituicoes de formacao de professores, centros de formacao e associacoes
cient=EDticas e profissionais interessadas.


        Lisboa, 6 de Julho de 1995

A Seccao de Educacao e Matematica
da Sociedade Portuguesa de Ciencias de Educacao





***************************************************************************
Joao Pedro da Ponte
Departamento de Educacao da Faculdade de Ciencias
Universidade de Lisboa

Edificio C1-Campo Grande
1700 LISBOA-PORTUGAL

fax office (351-1)-757-3624
tel. office (351-1)-7573141 ext 1103 or 2012
tel. home 3630861
***************************************************************************

Reply-To: sem@cc.fc.ul.pt
Originator: sem@cc.fc.ul.pt
Sender: sem@cc.fc.ul.pt
Precedence: bulk

X-Comment:  Educacao em Matematica


Carlos Albuquerque dixit:
>       dos racionais. Assim, creio que para uma correcta introducao da
>       calculadora cientifica no secundario haveria que dar os rudimentos
>       do calculo numerico aproximado (o primeiro capitulo de qualquer
>       livro de analise numerica).

Esta e' uma questao que me preocupa pois e' necessario ter alguma
perspectiva numerica quando se usam as maquinas e se resolvem problemas
concretos (mesmo fazendo calculos 'a mao), mas nao sei se isto significa
que se discutam metodos numericos nem ate' que ponto sera' necessario
estudar metodos numericos e com que profundidade.
Se nao se tratasse de um Ajustamento eu preferiria discutir detalhadamente
alguns metodos numericos. Nas actuais condicoes prefiro que o aluno tome
consciencia informalmente e atraves de questoes concretas com o problema da
aproximacao. O que nao acontecia de modo algum nos Novos Programas.

>    b) A calculadora grafica tem sido apresentada como um objecto onde
>       podemos "ver" os graficos das funcoes. Tratar-se-ia entao de
>       demonstrar (ou dizer que se poderia demonstrar) as propriedades
>       "observadas" no visor da calculadora. Isto parece-me errado,
>       ainda que possa parecer motivante para os alunos o dizermos que
>       estao efectivamente a "ver" o grafico. Um grafico numa calculadora
>       (ou mesmo num computador) tem uma quantidade de informacao muito
>       limitada (correspondente a uma tabela da funcao, calculada em
>       algumas dezenas de pontos, com 2 decimais) mas apresentada de uma
>       forma que podemos captar rapidamente. Sugerir algo mais do que isto
>       pode induzir todo o tipo de utilizacoes erradas das maquinas.

Mas observar certas propriedades na maquina (ou 'a mao) e depois ir
demonstra'-las 'a mao (teoricamente) e' altamente formativo. A maquina pode
muito bem ser potenciadora de conjecturas ou ponto de partida para pequenas
investigacoes. E e' obvio que isto nao e' muito facilmente feito 'a mao.
Mas as maquinas podem dizer mais do que isso. Sao excelentes fornecedoras
de contra-exemplos. Se virmos que o grafico da funcao f "sobe" podemos
desde logo dizer que nao 'e decrescente e isso pode ser o objecto do
problema.

E' por isso que se pode ver na 1a versao da proposta de Ajustamento:
"Quando for usada a calculadora grafica os alunos devem explorar claramente
os diversos comportamentos. Os alunos devem ser confrontados com conclusoes
apressadas. Os alunos devem ser incentivados a elaborar conjecturas em
funcao do que se lhes apresenta mas devem ser sistematicamente treinados na
analise critica de todas as suas conclusoes."


>       Que informacao podemos tirar entao destes graficos? Fazer um
>       grafico de uma funcao com uma dada resolucao so nos mostra as
>       propriedades visiveis a essa escala.

Diz a 1a versao do Ajustamento:
"Deve ser chamada a atencao dos alunos para que podem ser apresentadas
diferentes representacoes graficas de um mesmo grafico, variando as escalas
da representacao grafica; os alunos devem fazer varias experiencias
significativas na calculadora grafica."


> Tudo o que se passa nas
>       escalas mais finas ou mais largas fica completamente invisivel no
>       grafico. E' por isso que um dos pontos mais sensiveis no uso da
>       calculadora grafica e a escolha do "range" para o grafico. Sem
>       qualquer conhecimento previo sobre uma funcao nunca poderemos saber
>       se devemos usar um "range" mais largo (podemos estar a ver apenas um
>       pequeno pormenor do grafico da funcao) ou se devemos fazer um "zoom"
>       (e neste caso onde devemos fazer esse "zoom"?)

Diz a 1a versao do Ajustamento:
"Deve ser introduzida a nocao de rectangulo de visualizacao e a de grafico
completo (onde se podem observar todas as caracteristicas importantes da
funcao, podendo ate ser um grafico multiplo - situacao a explorar
obrigatoriamente)."


>          Em contrapartida sugiro que a calculadora grafica surja como uma
>       forma de visualizar rapidamente uma serie de pontos isolados do
>       grafico de uma funcao. A partir dai pode desenvolver-se um processo
>       dinamico no estudo da funcao em que ha' aspectos analiticos que
>       sugerem escolhas de "range" para gerar graficos e ha' imagens
>       que sugerem resultados teoricos.

E' o que aparece na 1a versao do Ajustamento ou nao sera'?

>          A calculadora pode assim ser usada para o estudo de uma funcao e
>       pode revelar-nos muita informacao util, mas nunca pode substituir
>       outros estudos (derivadas, limites, majoracoes e minoracoes, etc.)
>       e, sobretudo, nunca pode substituir o espirito critico de quem a
>       vai usar. Uma funcao que nao esteja ja' estudada e classificada
>       exige sempre uma abordagem sob diversos pontos de vista.

Exactamente. E  a 1a versao do Ajustamento vai mais longe:

"Um aluno devera' registar por escrito as observacoes que fizer ao usar a
calculadora grafica ou outro material, descrevendo com cuidado as
propriedades constatadas e justificando devidamente as suas conclusoes
relativamente aos resultados esperados (para desenvolver a capacidade de
comunicacao matematica)."


>          Uma forma de compreender a calculadora grafica pode ser o estudo
>       do processo de criacao de uma imagem. O tema e' suficientemente
>       elementar para poder ser abordado no ensino secundario e envolve
>       simultaneamente questoes numericas e de geometria analitica
>       (transformacoes de coordenadas em R^2).=20

Ora ai' esta' um bom assunto para o professor desenvolver com os alunos.
Mas nao me parece que seja necessario torna'-lo um tema do programa.

>
>    c) O estudo breve da calculadora cientifica e/ou grafica que proponho
>       teria, a meu ver, dois tipos de vantagens:
>       i)  ajudaria a uma muito melhor utilizacao da calculadora pelos
>           alunos, quer para a execucao do calculo rotineiro, quer para um=
>           uso esclarecido da calculadora como apoio a estudos teoricos=20
>           (ex. estudo de uma funcao ou de um limite);
>       ii) ajudaria a desmistificar a tecnologia, numa epoca em que a
>           opiniao publica encara a informatica como um rito que alguns
>           sacerdotes praticam em templos.=20

Espero que isso se possa fazer com as indicacoes constantes da 1a versao.

>       Por esta tabela vemos que as capacidades graficas das calculadoras=
>    estao muito longe das dos computadores. Para quem ja trabalhou com=20
>    representacoes graficas em computador, as actuais calculadoras graficas
>    parecem muito primitivas (mais de 10 anos de atraso relativamente 'a
>    tecnologia dos computadores).

So' que a facilidade com que se efectua um "zoom" faz com que esse
obstaculo seja muito pouco importante. Rapidamente se podem tracar uma
duzia de graficos de uma mesma funcao ampliando aqui e ali, reduzindo 'a
vontade para um lado ou para outro. A facilidade do "zoomBox" que a maior
parte das calculadoras graficas tem e' mesmo espectacular deste popnto de
vista.


>    Assim, dos dez tipos de actividades matematicas propostas para a=20
>    calculadora grafica, os numeros iii), vi) e ix) parecem-me pouco
>    razoaveis com o estado actual de desenvolvimento das calculadoras
>    graficas, porque os elementos de imagem (pixels) sao muito grandes e=20
>    muito poucos. Em qualquer caso haveria que discutir antes com os alunos
>    as questoes relativas 'a imagem da calculadora, nomeadamente o caracter
>    aproximado e fortemente dependente da escala que se observa.

Transcrevo:
"iii) Uso de metodos graficos para resolver equacoes e inequacoes e
posterior confirmacao usando metodos algebricos;
vi) Uso de metodos visuais para resolver equacoes e inequacoes que nao
podem ser resolvidas, ou cuja resolucao e' impraticavel, com metodos
algebricos;
ix) Antevisao de conceitos do calculo diferencial;"

Penso mais uma vez que a capacidade de fazer "zoom" ultrpassa as objeccoes
avancadas.


>
>
>4 - Embora seja tentador apresentar a calculadora aos alunos (e aos=20
>    professores) como a maquina para todos os calculos e que nos da'
>    os graficos das funcoes, isso nao leva a uma boa utilizacao da maquina.
>    Antes pelo contrario. E tambem nao resistira aos alunos e professores
>    com maior espirito critico.=20


Mas o que se espera e' que professores e alunos a possam usar (e ao
computador) de uma forma que contribua ainda mais para desenvolver o seu
espirito critico. (e convenhamos que o ensino actual de matematica nao
desenvolve *nada* o espirito critico) A calculadora e' apenas mais uma
ferramenta, nao e' *a* ferramenta. Os alunos devem fazer muitas outras
coisas na sala de aula que desenvolverao o espirito critico e outras
capacidades e aptidoes importantes!

Jaime



/////////////////////////////////////////////////////////////////////
Jaime Carvalho e Silva
Departamento de Matematica
Universidade de Coimbra
Apartado 3008
3000 Coimbra
PORTUGAL
Phone(office): 351-39-28097/8/9,351-39-29485,351-39-29539,351-39-29882
Fax: 351-39-32568
E-mail:jaimecs@mat.uc.pt
WWW home page: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/index.html

Reply-To: sem@cc.fc.ul.pt
Originator: sem@cc.fc.ul.pt
Sender: sem@cc.fc.ul.pt
Precedence: bulk

X-Comment:  Educacao em Matematica


    A mensagem que escrevi (Ajustamento e calculadoras) 
teve como unica base o texto sobre o ajustamento
disponivel no servidor WWW. Como nao tenho o texto 
completo, gostaria de saber se esta disponivel sob
forma electronica (de preferencia) ou entao saber como
posso obte-lo.
    Obrigado

    Carlos Albuquerque

Reply-To: sem@cc.fc.ul.pt
Originator: sem@cc.fc.ul.pt
Sender: sem@cc.fc.ul.pt
Precedence: bulk

X-Comment:  Educacao em Matematica

>    A mensagem que escrevi (Ajustamento e calculadoras)
>teve como unica base o texto sobre o ajustamento
>disponivel no servidor WWW. Como nao tenho o texto
>completo, gostaria de saber se esta disponivel sob
>forma electronica (de preferencia) ou entao saber como
>posso obte-lo.

Como e' muito grande (e a segunda versao vai ser ainda maior,
nao e' possivel coloca'-lo completamente no WWW
porque da' demasiado trabalho - incluindo a complicacao das
formulas matematicas).

Contudo poderei envia'-lo por "attachment" (em "binex")
por correio electronico
a quem mo solicitar.

O mesmo se aplica em relacao 'a segunda versao
(que ainda nao esta' pronta, o que so' acontecera' mesmo no fim
deste mes!)

Jaime




/////////////////////////////////////////////////////////////////////
Jaime Carvalho e Silva
Departamento de Matematica
Universidade de Coimbra
Apartado 3008
3000 Coimbra
PORTUGAL
Phone(office): 351-39-28097/8/9,351-39-29485,351-39-29539,351-39-29882
Fax: 351-39-32568
E-mail:jaimecs@mat.uc.pt
WWW home page: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/index.html

Reply-To: sem@cc.fc.ul.pt
Originator: sem@cc.fc.ul.pt
Sender: sem@cc.fc.ul.pt
Precedence: bulk

X-Comment:  Educacao em Matematica



    Relativamente 'a 1a versao da proposta de 
ajustamento (que agradeco ao Jaime Carvalho e Silva)
e considerando o que foi dito, gostaria de acrescentar:


11o ano - Tema III


Le-se na proposta: 

"...podem apresentar-se exemplos de sucessoes definidas
pelo seu termo geral e, utilizando a calculadora
grafica, atraves de calculos e representacoes graficas
de sequencias de termos chegar aos conceitos de
infinitamente grande, de infinitamente pequeno, de
limite de uma sucessao."

   E' importante notar que a calculadora nao pode nunca 
dar uma ideia completa do infinitamente grande ou do 
infinitamente pequeno porque qualquer calculadora, para
alem do zero, so' pode representar os numeros 
compreendidos num intervalo [m,M] em que m e' proximo 
de zero e M e' razoavelmente grande. E mesmo num tal 
intervalo, so' certos numeros podem ser representados.
Em particular, para a maioria das calculadoras, m e' 
da ordem de 10^(-100) e M e' da ordem de 10^100. 
Isto nao retira 'a calculadora o valor que pode ter 
para desenvolver a intuicao.
   Neste aspecto sugeria como indicacao metodologica 
que se informassem os alunos sobre a forma de 
representacao dos numeros na calculadora e consequentes
limitacoes. Onde nao chega a capacidade da calculadora 
podem chegar a imaginacao e o raciocinio analitico.


10o ano - Tema II


Le-se na proposta, relativamente ao uso de calculadoras
graficas:

"Os alunos devem ser confrontados com conclusoes 
apressadas."
 
   Parece-me que nao basta confrontar os alunos com as 
conclusoes apressadas. Isto supoe que o problema pode 
estar so' na precipitacao do utilizador. Parece-me aqui
essencial confrontar os alunos com as limitacoes da
tecnologia. Para se responder minimamente a esta
questao haveria que introduzir nas indicacoes 
metodologicas a obrigacao de discutir na aula um ou
dois casos em que a calculadora falha redondamente.
Como exemplo, junto dois casos para os quais fiz
experiencias com uma TI-81, partindo do range standard.

Y1(x) = 1 + x^2 + 0.0125 log abs ( 1 - 3 ( x - 1 ) ) 

Este exemplo foi dado por W. Khan. O exemplo seguinte
surgiu a proposito de uma funcao que aparece na 
resolucao analitica de um problema de
calor, com aplicacao em estudos quimicos.

Y2(x) = exp(0.001/x) ou Y3(x) = x*exp(0.001/x)

Em ambos os casos, se virmos apenas o grafico tracado
com o range standard nao temos nenhuma razao para 
desconfiar que haja algum comportamento menos regular.
A funcao Y1, no intervalo [0.1,2], chega mesmo a iludir
programas como o Mathematica e o Maple.
   O importante nao e' insistir nestes exemplos 
(embora existam muitos mais) mas saber que existem e 
que estas situacoes surgem na pratica.


Grafico completo

   A nocao de grafico completo levanta-me grandes 
dificuldades. Se bem que possa ser util para estudar funcoes
que tenham graficos simples, nao me parece que faca muito
sentido para funcoes como sen(1/x) ou para funcoes 
continuas sem derivada em nenhum ponto. Os fractais 
sao exemplos de complexidade em todas as escalas, pelo
que nunca e' possivel fazer o grafico completo. Contudo,
so a partir da sua visualizacao se desenvolveu o seu 
estudo. Assim sugeria que se deixasse aberta uma porta
para este tipo de funcoes.


   Quanto 'as outras questoes levantadas em mensagens
anteriores queria dizer ainda algo mais, mas sera' 
noutro dia. Ate' la' espero que o debate se mantenha
e fico 'a espera da segunda versao.



   Carlos Albuquerque

HTML file created by digester 2.0

Digester developed by: André C. van der Ham