y' = cos x
Justifique a sua resposta.
A
1(a) frequência Análise Matemática I Física, Eng(a) Física, Eng(a) Materiais
Análise Matemática I - Física,
Eng(a) Física, Eng(a) Materiais
19 de Fevereiro de 1996
Duração: 3 horas
Sem consulta de apontamentos ou textos
Tabela autorizada
Calculadora científica ou gráfica autorizada
1- Indique qual dos gráficos seguintes pode representar
o campo de direcções da equação
diferencial
y' = cos x
Justifique a sua resposta.
A
B
C
2- Determine a função F: R+ ---> R
que satisfaz as condições:
i) F'(x) = 
ii) F(1) = 0
3- Considere a função real de variável real definida por:
g(x) = 
Com o objectivo de a representar graficamente, estude
a) as equações das assímptotas
b) os extremos relativos e a monotonia
c) os pontos de inflexão e o sentido da concavidade
Faça em seguida o esboço do gráfico.
No esboço que fizer deve assinalar claramente
os elementos relevantes encontrados anteriormente (assímptotas,
extremos, etc)
4- Calcule primitivas de cada uma das seguintes funções:
a) 
b) 
5- A população P de uma certa cidade está
a crescer a uma taxa proporcional à própria
população. Sabendo que em 1980 havia
10 milhões de habitantes, e que no ano seguinte
havia 10,35 milhões de habitantes, indique:
a) Em que ano haverá 20 milhões de habitantes?
b) Qual a população desta cidade no ano
2000.
6- Defina integral impróprio do tipo
e compare-o com o valor principal de Cauchy.
7- a) Sejam f e g duas funções integráveis
no intervalo [a,b] tais que
f(x) <= g(x)
para todo o x do intervalo [a,b]. Prove que, então,
b) Através de um exemplo, mostre que as funções
f e g referidas na alínea anterior podem ser
diferentes, mas ter-se
8- a) A figura seguinte apresenta o gráfico da
lemniscata
traçada numa calculadora gráfica, assim
como as coordenadas do rectângulo de visualização:
Os resultados merecem confiança? Porquê?
b) Determine analitica e graficamente a intersecção
da lemniscata anterior com a circunferência
.
Discuta cuidadosamente os resultados obtidos pelos
dois métodos e compare-os.