Prova especial para os alunos com 15*

Análise Matemática I - Física, Eng(a) Física, Eng(a) Materiais, Eng(a) Mecânica

9 de Julho de 1996

Duração: 3 horas
Sem consulta de apontamentos ou textos
Tabela autorizada
Calculadora científica ou gráfica autorizada

1- Antes de Galileu descobrir que a velocidade de um objecto em queda, quando a resistência do ar não éconsiderada, éproporcional ao tempo decorrido, ele conjecturou erradamente que a velocidade seria proporcional àdistância percorrida desde o instante inicial.
a) Suponha que a conjectura errada era verdadeira e escreva uma equação diferencial que relacione a distância percorrida na queda, D(t), com a velocidade.
b) Usando a resposta àparte a) e condições iniciais adequadas, mostre que a conjectura de Galileu leva a uma contradição.

2- a) Seja f uma função integrável no intervalo [a,b], com a < b. Suponhamos que, para todo o x em [a,b],

f(x) >= 0

e que existe um ponto x0 do intervalo [a,b] tal que f é contínua no ponto x0 e tal que

f(x0) > 0

Prove que

b) Prove que se f tem derivadas contínuas até à ordem n+1 num intervalo aberto contendo o ponto x0, então o polinómio de Taylor Pn( x ; x0) é o único polinómio de grau n tal que

onde

f(x) = Pn( x ; x0) + Rn(x)

3- Considere as funções reais de variável real definidas por:

f(t) =

g(t) =

h(t) =

Nenhum destes integrais se pode calcular directamente pois a função

não é primitivável como soma finita de funções elementares.
a) Mostre que f'(t) = - h(t)
b) Prove que

c) Indique para que valores de x e t é convergente a série anterior.
d) Mostre que a série de funções é uniformemente convergente para x em [0,1].
e) Use a alínea b) para determinar desenvolvimentos em série das funções g e h.

Nota: Não calcule Cn = .

f) Use a alínea anterior para provar que g'(t) = h(t) e conclua que f(t) + g(t) = K.
g) Determine o valor de K.
h) Prove que

i) Determine, a partir do resultado das alíneas anteriores, o valor do integral

j) Considere a série

e seja S(t) a sua soma. Mostre que

k) Determine uma função F(t), expressa em termos de um integral, tal que

onde L é um número real diferente de zero.

4- Mostre que a função

se pode desenvolver em série de potências de x. Determine o raio de convergência da série obtida.

5- Usando a fórmula de Taylor-Young, calcule

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