exame

Análise Matemática I - Física, Eng(a) Física, Eng(a) Materiais

9 de Julho de 1996

Duração: 3 horas
Sem consulta de apontamentos ou textos
Tabela autorizada
Calculadora científica ou gráfica autorizada

1- A figura seguinte representa o gráfico de uma função f.

a) Esboce o gráfico de g(x) = f '(x)
b) Esboce o gráfico de h(x) =

2- a) Estude a natureza do integral:

b) Determine a natureza da série numérica:

c) Determine o raio de convergência da série de potências:

3- Considere as funções reais de variável real definidas por:

f(t) =

g(t) =

h(t) =

Nenhum destes integrais se pode calcular directamente pois a função

não é primitivável como soma finita de funções elementares.
a) Mostre que f '(t) = - h(t)
b) Prove que

c) Indique para que valores de x e t éconvergente a série anterior.
d) Mostre que a série de funções éuniformemente convergente para x em [0,1].
e) Use a alínea b) para determinar desenvolvimentos em série das funções g e h.

Nota: Não calcule Cn = .

f) Use a alínea anterior para provar que g'(t) = h(t) e conclua que f(t) + g(t) = K.
g) Determine o valor de K.

4- Um petroleiro teve um acidente ao largo das Berlengas e estáa despejar uma certa quantidade de "crude" no mar. O LNEC estáa testar a eficácia de uma nova espécie de bactérias comedoras de "crude". São largadas bactérias sobre a mancha de "crude" que tem a forma de um cilindro. As bactérias comem o "crude" a uma velocidade de 400 cm3 por hora. Num certo instante, quando o raio do cilindro é de 100 metros, a altura do cilindro (espessura da camada de "crude") é de 0,2 cm e decresce a uma taxa de 0,02 cm por hora.
a) Prove que o raio do cilindro está a aumentar nesse instante.
b) Determine a taxa a que aumenta a área da mancha (área do topo superior do cilindro) nesse instante.

5- a) Esboce a seguinte curva definida em coordenadas polares por

Explique o que acontece quando varia no intervalo .
b) Prove que as duas equações seguintes definem a mesma curva

6- a) Seja f uma função definida em [a,c[ ]c,b] com a < c < b e tal que se tenha

Seja f integrável em todos os intervalos do tipo [a,c-e[ e ]c+d,b] contidos em [a,c[ e ]c,b] respectivamente. Defina valor principal de Cauchy do integral impróprio

b) Sejam f e g duas funções contínuas não negativas no intervalo [a,+(inf)[ e suponhamos que é possível encontrar um real positivo M tal que para todo o x em [a,+(inf)[ se tenha

f(x) <= M g(x)

Prove que se

é divergente então

é divergente.

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