Duração: 2h

Sem consulta de apontamentos ou textos

Tabela de primitivas autorizada

Calculadora científica ou gráfica autorizada (qualquer modelo)

  1. A desigualdade de rendimentos num dado país pode medir-se pelo Índice de Gini:

    \[\displaystyle{ \int_0^1 2\big(x-L(x)\big)\, dx }\]

    onde \(L(x)\) é a proporção do rendimento desse país que é destinada aos \((100x) \%\) mais pobres.
    Se para os países \(A\) e \(B\) se tiver, respectivamente,

    \[L_A(x)=\frac{2}{3} x^3+\frac{x}{3} \ \ \mbox{ e } \ \ L_B(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{x}{2},\]

    em qual dos dois países o Índice acima indica que há maior desigualdade?

  2. Faça um esboço, e a seguir calcule a área da região \[\big\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2:\ x \leq e^2 \ \mbox{ e } \ 1 \leq y \leq \ln x \big\}\]

  3. Calcule dois (e só dois) dos seguintes integrais:

    \(\displaystyle{\int_{0}^{1} \, \frac{1}{(x+2)(x-2)} \, dx}\) \(\displaystyle{ \int_0^1 \frac{2}{e^{2x}+1} \, dx}\) \(\displaystyle{ \int_1^2 \frac{1}{x+\sqrt{x}} \, dx}\)

    1. Indique, justificando, se a igualdade seguinte é verdadeira: \[\int_{-1}^{0} \, e^{-x^2} \, dx = \int_{0}^{1} \, e^{-x^2} \, dx \, .\] Pode justificar usando um argumento geométrico ou então recorrendo à fórmula de integração por substituição fazendo a mudança de variável \(x=-t\).

    2. Indique algumas funções para as quais se tenha que \(\displaystyle{ \int_{-1}^0 f(x)\, dx= \int_{0}^1 f(x)\, dx}\).

  5. (i)

    Indique, justificando, o sinal de \(\displaystyle{ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx}\) sem efetuar o cálculo do integral;

    (ii)

    Diga, justificando, se o integral impróprio

    \[\displaystyle{ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx}\]

    é convergente ou divergente e ainda se pode representar a área de alguma região.

  6. Considere as matrizes

    \[A=\left[ \begin{array}{cc} -3 & -2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right] \mbox{ , } L=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 1/3 & 1 \\ \end{array} \right]\]

    \[M=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 3 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right] \mbox{ e } P=\left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \mbox{ . }\]

    (i)

    Calcule \(L \times M\), \(P \times M\) e \(P^{2017}\);

    (ii)

    Escreva uma das matrizes (\(A\), \(L\), \(M\) ou \(P\)) como produto das outras três;

    (iii)

    Calcule \(\det{ ( 2L \times P)}\).

  7. Considere o sistema de equações lineares \[\left\{ \begin{array}{l} x+y=0\\ 2x+2y+z=1\\ x+2y+2z=0 \end{array} \right.\]

    1. Escreva o sistema na forma matricial e resolva-o pelo método de eliminação de Gauss.

    2. Calcule, se existir, a inversa da matriz do sistema.

    3. Indique a solução do sistema \(\left\{ \begin{array}{l} x+y=0\\ 2x+2y+z=0\\ x+2y+2z=1 \end{array} \right.\)