nš25 (triplo) ISSN 0870-7669 abril-Junho 1990
Folha Informativa do Projecto "Computação no Ensino da Matemática"

O USO DAS CALCULADORAS E DOS COMPUTADORES,
E OS CALCULOS NA AULA DE MATEMATICA - 7ª parte

 

O texto seguinte é a continuação da tradução de uma parte da brochura "Quelques apports de l'informatique à l'enseignement des Mathématiques" editada em 1977 pela APMEP (uma associação de professores de matemática francesa).

Cálculo mental e informática
Dentre as actividades clássicas em meio escolar que podem ajudar a fazer compreender o que é a informática e, em contrapartida, receber da informática uma nova iluminação, tem o cálculo mental um lugar de eleição.

 

a) Apercebemo-nos de uma analogia imediata entre o funcionamento de um computador e o de um cérebro aquando da execução de um cálculo mental. Examinemos mais de perto essa analogia. Um computador comporta orgãos de entrada-saída, uma memória, um orgão de cálculo. É preciso enfim fornecer-lhe os dados e um programa para executar. Num humano que efectuasse

348 x 259

esperaríamos encontrar unicamente um potente instrumento de cálculo. Com efeito, é-lhe necessário, para poder funcionar:

- olhos, ouvidos, uma língua ou dedos para comunicar com o exterior;

- uma memória para aramazenar quanto mais não seja a tabela da multiplicação;

isto é, unidades de entrada-saída e uma memória.

 

b) Tanto o computador como o homem que calcula têm interesse em estudar a estrutura da memória. Distinguem-se diversos tipos de memórias:

- uma memória interna modificável bastante cara para o computador e pequena para o homem. Consegue reter 5 números de 4 algarismos que se modificam sem cessar?

- uma memória interna não modificável, menos cara para o computador e bastante vasta no homem (é nela que nós guardamos por exemplo a tabela de multiplicação).

- memórias externas de capacidade praticamente ilimitada (elas são representadas no cálculo mental pelo quadro, os papéis que o homem pode ter sob os olhos).

A característica mais importante do cérebro humano utilisado como calculador é a pequenez da memória modificável.

 

c) Podemos obviar à pequenez da memória modificável pelo recurso a memórias exteriores e por um emprego conveniente das entradas/saídas. O problema de calcular

348 x 259 ,

tendo escrito estes dois números no quadro e estando constantemente sob os olhos do calculador, os números do produto podendo ser escritos no quadro à medida que vão sendo obtidos, é um problema fácil porque, como veremos, não há quase nada para por na memória modificável.

Pelo contrário, o problema de efectuar o produto destes mesmos dois números sendo estes ditados e o resultado devendo ser fornecido sob forma definitiva, é um problema muito mais difícil, porque é necessário guardar na memória modificável os dois factores, o estado actual do resultado e algumas outras informações.

Para especificar completamente um problema de cálculo mental, é necessário indicar duma maneira precisa sob que forma são fornecidos os dados e sob que forma se pedem os resultados.

 

Ora isto não é feito habitualmente porque se foca a atenção sobre o aspecto de manipulação dos algarismos.

 

d) Podemos igualmente obviar à pequenez da memória modificável escolhendo algoritmos de cálculo que minimizem as necessidades da memória.

Para multiplicar 348 por 259 , utilizaremos a multiplicação em cruz:

8 x 9 = 72	2	retenho 7
7 + 8 x 5 + 4 x 9 = 83	3	retenho 8
8 + 8 x 2 + 4 x 5 + 3 x 9 = 71	1	retenho 8
7 + 4 x 2 + 3 x 5 = 30	0	retenho 8
3 + 3 x 2 = 9	9	retenho 7

O resultado 90132 foi enunciado algarismo a algarismo começando pela esquerda. Só memorisámos o número que retivémos e o nívela ao qual estávamos a operar (supomos os factores escritos no quadro). O algoritmo ordinário teria necessitado da construção e da memorização dos três produtos parciais.

 

e) As propriedades matemáticas do algoritmo podem deixar uma certa liberdade na ordem de certas operações. Podemos aproveitar isso para aliviar a memória modificável.

Efectuemos por exemplo

1954 + 260 + 786

 

sendo os números simplesmente enunciados.

Repetimos esta linha várias vezes para melhor a memorizar. Vamos em seguida juntar progressivamente os algarismos do último número aos do primeiro no decurso de uma repetição contínua.

1960 + 260 + 780 | 2040 + 260 + 700 | 2740 + 260

depois juntamos do mesmo modo os algarismos do segundo número aos do primeiro

2800 + 200 | 3000

O resultado é 3000.

Quando há mais de dois números, parece bem que é mais fácil fazer desaparecer o último algarismo pronunciado em vez de qualquer outro

 

 

Observação: Se queremos fazer a prova dos 9 do cálculo, como no fim já teremos esquecido os termos, determinaremos o resto por 9 da expressão dada antes de a transformar. Aqui

1 + 9 + 5 + 4 = 1 2 + 6 + 0 = 8

1 + 8 = 0 7 + 8 + 6 = 3

O resto por 9 do resultado deve ser 3. É preciso memorizar este algarismo até ao fim do cálculo.

 

f) Acabamos de encontrar um dos grandes princípios da informática: Adaptar o método à ferramenta de que se dispõe. Eis um outro: Adaptar o método ao problema. Aqui constatamos um fenómeno que denomino fecundidade algorítmica. À volta de uma mesma teoria matemática, encontramos não um problema mas um grande número de problemas diferindo entre si por particularidades que podem parecer acessórias, mas que podem contudo conduzir a algoritmos muito diferentes.

Por exemplo, à volta da noção de divisão, podemos encontrar os problemas seguintes:

-determinar o quociente e o resto de a por b

-determinar o quociente de a por b

-determinar o resto de a por b

-reconhecer se a é divisível por b

-sabendo que a é divisível por b encontrar o quociente.

Eis um bom algoritmo de cálculo mental para encontrar o resto de 842519 por 7:

Observemos que 100 = 7 x 14 + 2.

Não mudamos portanto o resto suprimindo o algarismo mais à esquerda, multiplicando-o por dois e juntando-o 2 lugares à direita. (Subtrairemos 7 sem o dizer logo que tal seja possível).

 

O resto de 34 é 6.

Examinemos agora se 842519 é múltiplo de 7. Juntarei ou retirarei 7 ou 7 x 3 = 21 de modo a anular o algarismo das unidades. Aqui é necessário juntar 21.

Divido por 10: 84254
Divido por 2: 42127
Retiro 7; divido por 10: 4212
Divido por 2: 2106 1053
Junto 7; divido por 10: 106
Divido por 2: 53
que não é múltiplo de 7.

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