A INFLUÊNCIA DOS COMPUTADORES E DA INFORMÁTICA NA
MATEMÁTICA E NO SEU ENSINO
primeiro relatório da
Comissão internacional sobre o ensino da matemática

R. F. CHURCHHOUSE, B.CORNU, A. P. ERSHOV, A. G. HOWSON, J. P. KAHANE
F. PLUVINAGE, A. RALSTON, J. H. VAN LINT, M. YAMAGUTI

Os computadores e a informática estão a subverter todas as sociedades da nossa época. Tal como a máquina a vapor introduziu a primeira revolução industrial , o computador introduziu aquilo a que se chama muitas vezes a segunda revolução industrial. As perspectivas são imensas: supressão de trabalhos repetitivos ou penosos, novas necessidades, novas profissões , novas qualificações.

O desenvolvimento das ciências físicas acompanhou a primeira revolução industrial. Devemos esperar que ciências novas, ligadas à informática, acompanhem a segunda. A comunicação, a informática, a organização, vão pôr uma série de problemas que. podem ter um papel motor no desenvolvimento científico, tal como os problemas cuja origem é o mundo físico.

Por outro lado, o computador permite tratar os enormes cálculos de que necessitam a teoria e as experiências a efectuar em praticamente todas as grandes disciplinas científicas, da física das altas energias à biologia molecular.

A matemática não escapa a este movimento. Ela é a ciência mais antiga, e cujos valores aparecem como os mais permanentes. É a ciência mais espalhada; milhões de homens participam no seu ensino, e isto em todos os países do mundo. Ela tem um papel de base e de referência por vezes tanto para as outras ciências - incluindo a informática - como para os homens na sua actividade quotidiana. Ao mesmo tempo ela evolui, em função da sua dinâmica interna por um lado, em função de factores externos por outro lado. Entre estes factores externos, os computadores e as suas utilizações têm hoje em dia um papel importante.

É por isto que a CIEM tomou a iniciativa de organizar uma reflexão internacional sobre o tema: influência dos computadores e da informática sobre a matemática e o seu ensino. Como primeira etapa, submetemos à discussão o pressente relatório, organizado com base em três grandes questões:

Para as questões 2 e 3, limitamo-nos aos programas e ao ensino universitário e pré-universitário (a partir dos 16 anos). A matemática escolar será objecto de um outro estudo internacional da CIEM. Encontraremos naturalmente os mesmos assuntos nos três níveis, em resposta às questões postas. Dois aspectos são essenciais : a influência da tecnologia, que permite fazer melhor, mais depressa, e de outro modo, e a influência dos conceitos fundamentais da informática, na primeira fila dos quais se encontra a algorítmica.

1. O EFEITO SOBRE A MATEMÁTICA

Os conceitos matemáticos dependeram sempre dos meios de cálculo e dos meios de escrita. A numeração decimal de posição, a escrita simbólica, as tabelas de valores numéricos precederam as noções modernas de número real ou função. Calcularam-se integrais, depois escreveu-se o símbolo de integrarão, antes de se precisarem os conceitos de integral de Riemann ou de Lebesgue. Podemos esperar que os novos meios de cálculo e de escrita que os computadores e a informática oferecem, permitam a emergência de novos conceitos matemáticos. Mas já hoje, eles põem em evidência noções e métodos, velhos ou novos, que não tinham lugar na matemática clássica. E sobre as noções mais clássicas, eles permitem um olhar novo.

Tomemos a noção de número real. É um ponto sobre a recta  e essa representação é eficaz para compreender a adição e a multiplicação. É também um ponto de acumulação de fracções, por exemplo das fracções contínuas que dão a melhor aproximação de um real por racionais. É também um desenvolvimento decimal ilimitado. É também um número escrito com vírgula flutuante. A experiência que pode dar uma simples calculadora de bolso pode valorizar os três últimos aspectos, O algoritmo das fracções contínuas - que não é senão o de Euclides -voltará a ser clássico. Operações complicadas (exponenciação, somas, séries, iteração de funções) tornar-se-ão simples, Operações simples (adição) produzirão problemas novos: somar por uma ordem ou por outra (a partir dos valores grandes ou dos pequenos ) não dá o mesmo resultado numérico.

Tomemos a noção de função. O ensino conhece por um lado as funções usuais e as funções especiais - quer dizer as funções tabeladas do séc. XVII ao séc. XIX - , por outro lado a noção geral de função introduzida por Dirichlet em 1830. Ainda hoje, classicamente, resolver uma equação diferencial consiste em reduzi-la a integrações, e se possível a funções usuais. No entanto o que está em jogo nas equações funcionais, é o cálculo efectivo e o estudo qualitativo das soluções. As funções que nos interessam são então as funções calculáveis, e não apenas as funções tabeladas. As teorias de aproximação e de sobreposição das funções - muito anteriores aos computadores - encontram-se valorizadas. O campo das funções usuais estende-se, e o das funções reputadas de não-usuais introduz-se naturalmente na discretização de problemas não lineares.

Tomemos os conjuntos de pontos, ligados aos sistemas dinâmicos, à iteração das transformações, ou aos processos estocásticos. O uso dos computadores reavivou o seu estudo, tanto para os físicos como para os matemáticos, e suscitou uma nova terminologia: atractores estranhos, fractais.

Sobre estes exemplos, parece que os computadores e a informática suscitaram novas descobertas, repuseram na ordem do dia questões estudadas há já muitos anos, tornaram possível o estudo de questões novas. Sobre cada um destes aspectos, esperamos que a discussão faça aparecer novos elementos.

A matemática teve sempre um aspecto experimental. Euler insistiu no papel da observação na matemática pura: "as propriedades que nós conhecemos dos números foram geralmente descobertas por observação, e descobertas muito antes da sua validade ser confirmada por demonstração… É por observação que descobrimos sem parar propriedades novas, que de seguida tentaremos provar" Os computadores multiplicam bruscamente as nossas possibilidades de observação e de experimentação em matemática. Na equação das ondas não linear, a solução-solitão foi descoberta por experimentação numérica antes de se tornar um objecto matemático, e de dar lugar a uma teoria rigorosa. Na iteração das transformações racionais, foram os desenhos obtidos por computador que nortearam as descobertas recentes. Há toda uma nova arte de experimentação que se desenvolve, em todos os ramos de matemática. Cálculos anteriormente impraticáveis tornam-se simples; trata-se de os conduzir bem. Visualizações são possíveis, e elas constituem um factor de unidade entre os matemáticos, oferecendo-lhes objectos de estudo que diferentes especialistas podem conduzir em conjunto, Podemos dizer que o número e a variedade de estímulos aos quais somos capazes de submeter os entes matemáticos para apreciar as suas reacções aumentarão consideravelmente. A consciência destas novas possibilidades penetrou o conjunto da investigação matemática de há uns anos para cá. Mas ela ainda não entrou no ensino. É portanto este carácter experimental , praticável agora em grande escala, que é sem dúvida o mais promissor para o renovar do ensino da matemática. A informática obriga a repensar a noção de variável, e a ligação entre símbolo e valor. Esta ligação é fortemente explorada em matemática (por exemplo no simbolismo do cálculo diferencial). Em informática, a necessidade de realizar, de materializar os valores, põe o problema de uma nova maneira. O simbolismo das funções não é inteiramente transponível, Isto conduz a linguagens de tipo diferente: linguagens funcionais, ou linguagens imperativas, baseadas no conceito de estado das variáveis. A matemática é também , e continuará a ser, uma ciência de demonstração. Mas o estatuto da demonstração não é Imutável. O nível de rigor e de formalização depende das épocas e dos domínios; assim como a "beleza" da demonstração. Há uns vinte anos atrás, a moda era fazer demonstrações não construtivas por meio de teoremas de existência., método dos ideais para o m.d.c., princípio das gavetas para a aproximação racional, axioma da escolha em análise funcional, métodos probabilistas sem construções explicitas, etc...Hoje o ponto de vista mudou. Cada vez que é possível utilizaremos na demonstração um algoritmo, permitindo obter efectivamente o objecto procurado.

Os computadores têm um outro efeito sobre o estatuto da demonstração, que a famosa demonstração do teorema das quatro cores pôs em evidência. Até aqui as demonstrações mesmo enormes eram completamente redigidas, e a chamada às informações exteriores (tabelas, referências) eram perfeitamente controladas. Em princípio um matemático solitário devia poder seguir e verificar a totalidade de uma demonstração graças à redacção.

Vemos aparecer novos tipos de demonstração: demonstrações numéricas onde interveem grandes números, grandes quantidades não manipuláveis à mão e demonstrações algorítmicas, baseadas na eficácia de algoritmos. Com a demonstração assistida por computador, uma prática nova se introduz. Ela não parece ainda codificada. Se-lo-á sem dúvida no futuro.

Os algoritmos tiveram um papel importante, depois de Euclides, e mais ainda depois do nascimento da álgebra. É o conceito matemático mais importante para a informática.

Falámos do papel dos algoritmos como ferramenta na demonstração. Eles podem ser ferramenta essencial no cálculo. O simples exemplo do produto de duas matrizes nxn merece ser citado: o algoritmo de Strassert ( 1968 ) reduz de 8 a 7 os produtos numéricos a efectuar para duas matrizes 2x2; genaralizado às matr izes nxn , permite reduzir o número de produtos numéricos a n2,49 em vez de n3, o que é de grande importância prática para grandes valores de n.

Enfim, os algoritmos constituem um objecto de estudo por si mesmo, necessitando um importante contributo matemático : teorias e raciocínios matemáticos intervêm para estudar a complexidade, a eficácia dos algoritmos, para estabelecer as demonstrações dos algorítmos, e também para elaborar algoritmos. Citemos por exemplo o papel dos invariantes e dos pontos fixos na demonstração de algoritmos.

Devemos sublinhar que cada vez mais, os algoritmos são chamados a desempenhar um papel central na sociedade: interveem na vida das empresas, nas tecnologias, na automação; problemas matemáticos têm assim um alcance prático considerável.

Os sistemas simbólicos permitem a partir de agora desenvolver cálculos literais difíceis, e é preciso medir as suas perfomances actuais, e o seu papel na investigação matemática, assim como a sua possível influência no ensino superior. A informática alargou o campo de investigação matemática ao cálculo formal

2. O EFEITO SOBRE OS PROGRAMAS

Os programas resultam geralmente duma longa tradição, e evoluem em função de dois factores principais: as necessidades da sociedade e o estado da disciplina As necessidades da sociedade são muito diversas: em cada país, os estudos preparam para diferentes profissões, cada uma das quais com as suas exigências; entre os diferentes países, as prioridades nacionais podem ser diferentes, A priori, as necessidades sociais introduzem portanto nos programas um elemento de diversidade e mesmo de dispersão. A referência à disciplina é geralmente um factor de unidade, desde que os especialistas se entendam sobre o que é essencial. E esta unidade responde também a uma necessidade social , que é a de ter em comum conhecimentos e uma linguagem.

Temos então de encarar duas grandes séries de questões : as primeiras relativas às necessidades sociais expressas, às experiências locais, às políticas nacionais; as seguidas relativas às novas possibilidades, às inflexões de conjunto a preparar, às escolhas inspiradas pelo estado presente da ciência e da técnica.

Eis três questões inspiradas pelo contexto social (o quadro nacional, o ensino científico, o ambiente industrial).

Paremos aqui antes de pôr uma nova série de questões.

A informática terá sem dúvida três efeitos principais na orientação do ensino, Primeiro, os sistemas matemáticos simbólicos vão tornar simples e rápidas questões anteriormente árduas e complicadas.

Hoje já existem programas para calcular integrais definidos, resolver equações diferenciais, calcular mesmo soluções explícitas de certas equações funcionais. Portanto, o ensino da matemática pode insistir menos que anteriormente no estabelecimento dos meios clássicos de integração. Pelo contrário, o ensino deve permitir ao estudante fazer face a problemas mais numerosos fazendo apelo aos sistemas disponíveis, e para isso compreender a matemática subjacente. Quanto mais programas disponíveis houver, mais será preciso conhecer a teoria matemática para se orientar.

Em seguida, a informática precisa da matemática discreta : teoria combinatória, grafos, códigos. As aplicações da informática à gestão, à comunicação, à informação, fazem pouco uso do cálculo diferencial e integral, mas utilizam estruturas variadas sobre conjuntos finitos. Convem examinar se a matemática discreta pode substituir certas partes clássicas da análise na formação de base dos estudantes, e se certos conceitos fundamentais de análise podem ser abordados a partir do estudo de situações discretas. O lugar das séries, por exemplo, nos cursos de análise, pode encontrar-se modificado.

Enfim , o efeito geral sobre a matemática tem consequências necessárias no seu ensino, na ordem escolhida para a exposição das matérias.

Em todos os domínios, podemos pensar nas experiências numéricas e visuais destinadas a fundamentar a intuição. Podemos favorecer uma apresentação algorítmica das teorias e das demonstrações.

Estas reflexões conduzem à colocação de uma segunda série de questões:

As mudanças que a informática e os computadores produzem nos programas vão evidentemente ter consequências sobre a formação que os professores precisam, Além dos elementos de informática que lhes serão necessários, será preciso prepará-los a ensinar a matemática de uma maneira nova. Este problema vai-se pôr tanto ao nível da formação contínua, como da formação inicial dos professores. Portanto pomos a seguinte questão,.

3. A AJUDA AO ENSINO DA MATEMÁTICA

3.1 Algumas causas gerais de mudança devidas aos computadores.

O emprego dos computadores obriga a deixar de ver somente no domínio experimental uma fonte de ideias matemáticas e um terreno para ilustrações de resultados, mas um lugar de confrontação permanente teoría-prática. Mas isto põe o problema, na formação tanto de professores como de estudantes, de promover a atitude experimental (observação, ensaios, controle de variáveis, pôr à prova ) ao mesmo nível que a atitude matemática (conjectura, demonstração, veríficação ). Isto será suficiente pare falar, como alguns, de "matemática experimental"?

O computador como ferramenta faz aparecer um triângulo estudante-professor-computador onde não havia até então senão uma relação dual. Não há um risco de redução do trabalho proposto aos estudantes no computador a actividades simplistas,"sem risco "(.para os professores) de maneira a não modificar muito a relação tradicional estudante-professor ?

Os estudantes não podem deixar de estar informados ( no seu meio ou pelos media ) da generalidade de utilização dos computadores assim como dos periféricos associados, ver sistemas de interconexão com bancos de dados. Eles viram também saídas de gráficos espectaculares no ecran, impressoras ou traçadores de curvas. Daí resulta que os estudantes têm novas expectativas em relação ao ensino em geral e à matemática em particular, Como fazer utilizar o computador pelos estudantes para responder a estas expectativas novas ?

Além das mudanças de interesses aos quais conduz a informática, convém chamar a atenção para as mudanças de dificuldade dos exercícios e dos problemas. Não apenas o uso do computador muda a ordem de dificuldade dos exercícios, mas as dificuldades relativas das diversas maneiras de resolver um mesmo exercício, Como prever estas novas hierarquias e tê-las em conta nas propostas de exercícios ?

3.2 Objectivos e condições de trabalho.

O computador pode ser utilizado como "quadro preto" pelo professor. Da mesma maneira, procedemos nas ciências experimentais a demonstrações nas aulas. No caso do computador, uma interacção mais forte com o auditório é possível, pela escolha das entradas-máquina. Este tipo de utilização foi experimentado em diferentes sítios, mas não se pode espalhar senão mediante a elaboração de programas ("software") numerosos e variados. Qual deve ser o "caderno de encargos" para tais programas ?

O computador pode ser utilizado pelos estudantes, individualmente ou em grupos de dois ou mais, seja para efectuar trabalhos inteiramente predeterminados (trata-se do ensino programado, adaptado ao trabalho no computador, infelizmente, parece não haver programas deste tipo com grande interesse em matemática ).

O computador pode ser também o objecto de uma utilização para "trabalhos prácticos": manipulação experimental de objectos matemáticos, e dar lugar a programas de trabalho aberto (exemplos: tratamento estatístico dos dados de um estudo, explorações geométricas, manipulação de funções,... ).

Vemos desenvolverem-se igualmente os "programas-fonte", para o apoio e o aprofundamento. Estes programas, disponíveis em "centros multi-media" no seio dos estabelecimentos, constituem um meio de comunicação, ao mesmo nível que o documento escrito, o filme, etc… Podem fornecer aos estudantes um meio de auto-avaliação permanente.

A elaboração de programas precisa de reunir competências de matemáticos, de informáticos e de práticos do ensino. Como repartir o trabalho no seio de quais estruturas, para esperar produzir programas satisfatórios ?

Enfim, uma outra utilização do computador no meio escolar ou universitário é a utilização em "forma club", Depois de um período inicial de familiarização, é dos utilizadores que vêm principalmente os pedidos precisos de tratamento. Esta forma de trabalho dirige-se não apenas aos alunos, mas também aos seus professores. Que necessidades determina na formação de formadores ?

3.3 Tratamentos. Os periféricos utilizados (ecran, impressoras, "plotter",.,. )determinam diferentes maneiras de utilizar a informática, A adaptação à matemática põe problemas gerais, como o da manipulação da escrita simbólica que, todos sabemos, não é linear ao contrário da sequência de caracteres de um texto corrente.

Podemos considerar a questão dos tratamentos a partir das necessidades que se exprimem em diversos sectores da matemática que é ensinada ao nível que nos interessa.

Através destes sectores, notaremos o papel central da visualização, de experimentação, da simulação, e da ajuda à elaboração de conjecturas.

Primeiramente, um certo número de conceitos fundamentais são utilizados no ensino da matemática, muitas vezes de maneira implícita: lógica intuitiva, conceito de variável, de função, etc...

Que precisão informática pode trazer a respeito destes conceitos?

Estatística e probabilidades, tratamento de dados.

O computador torna possível os tratamentos em verdadeira grandeza. Problemas de escolha de dados em classes já não são pertinentes. Pelo contrário, a simulação é uma ferramenta que tem em probabilidades o lugar que tem o traçado de figuras em geometria. Assim, é possível, graças a tiragens pseudo-aleatórias, meter-se realmente em todos os tipos de situações, de apostas, decisões , testes imagináveis.

Geometria.

A produção de imagens (exemplos: ver em perspectiva objectos do espaço, orbitas) e a concepção assistida por computador (programas de traçamento de gráficos) são extremamente propícias ao desenvolvimento das intuições. Tornam possíveis a exploração de objectos e de figuras geométricas, e dão acesso a novas figuras.

Que mudanças o traçado por utilização do computador introduz em relação à geometria além da régua e do compasso ?

Álgebra linear.

A aproximação algorítmica fornece instrumentos de demonstração matemática (por exemplo o pivot de Gauss ), e conduz a pôr de modo diferente o estudo de questões como a inversibilidade, a resolução de sistemas, a decomposição de matrizes. Além disso, a visualização pode dar um suporte à intuição, por exemplo para o estudo dos valores

próprios e da diagonalização. Métodos como o do simplex não merecem um lugar no ensino

Análise

Sob o efeito dos sistemas simbólicos, os exercícios do tipo derivação, cálculo de primitivas, polinómios de Taylor, estão destinados a diminuir. Em contrapartida, a representação gráfica das funções, as resoluções aproximadas de equações numéricas ou funcionais, apresentam-se como assuntos privilegiados de reflexão. A experimentação pode ser a ocasião de descobrir e formular propriedades qualitativas, antes de as demonstrar (comportamento de uma família de curvas). Com a aproximação põem-se os problemas de convergência, a começar pelas sucessões e as séries. Além do aspecto qualitativo da noção de convergência, o estudo numérico conduz naturalmente ao aspecto quantitativo: rapidez de convergência. Enfim, a díscretização fornece um campo de experimentação, por exemplo para as equações funcionais.

Números, análise numérica.

Os números de uma máquina são muito diferentes dos números do matemático, mesmo quando têm o mesmo aspecto. Isto conduz a explorar as diferenças e, de passagem, a preocupar-se com os princípios de escrita dos números. Além disso, devemos esperar repercussões, ao nível do ensino, do cálculo paralelo utilizado para a investigação em análise numérica ?

Conjuntos, teoria combinatória, lógica.

Os assuntos obrigam a dar definições operatórias (a contagem das sobrejecções S(n,p) é um exemplo simples de recursividade, na condição de definir "operatoriamente" uma sobrejecção). Neste sector, a produção rápida de numerosos resultados é um meio de exploração para imaginar conjecturas. A aprendizagem de fórmulas apresenta então um interesse hoje em dia neste domínio ?

A estes domínios tradicionais objectos de uma atenção nova juntam-se os estudos resultantes directamente das particularidades dos tratamentos na máquina: estes são discretos. Importa então preocuparmo-nos com as consequências teóricas de um material discreto ( equações às diferenças ), " já, cursos completos de matemática discreta são propostos aos estudantes. Trata-se efectivamente de um novo tema de ensino ?

3.4 Controles.

Para o professor , o controle da aprendizagem dos estudantes é muitas vezes entendido no sentido restrito de classificação, enquanto que o controle do ensino é geralmente ignorado, A prática do apoio individual é um controle deste tipo tornado possível pelo recurso ao computador, tanto para as propostas de exercícios como para a gestão dos ficheiros individuais. Na classificação a escolha dos assuntos de exames por computador e a sua passagem no computador nunca foram experimentados até hoje senão nos sectores de ensino da própria informática.

Será preciso prever a generalização de exames "no computador" e, se sim , como elaborar as provas ?

Mas o termo controle designa também o controle experimental. A confrontação de saídas-máquina com os resultados matemáticos toma todo o seu interesse com a prática de um tal controle. No termo deste relatório, já era tempo de mencionar a utilidade do que não está conforme as previsões, o que não funciona perfeitamente bem. É sem dúvida bom relembrar que o caso geral para um programa é de não funcionar logo à primeira vez. Qual é o interesse dos erros num trabalho no computador ?

3.5 A formação dos professores.

Evocámos atrás o problema do conteúdo da formação dos professores. Convem pôr igualmente da forma desta formação, em particular para a formação contínua dos actuais professores. Qual é o esforço de formação a prever em formação "ligeira" ?

Em formação "pesada" (isto é, pelo menos um ano de dispensa total de ensino) ? Mas isto pode não ser suficiente numa perspectiva de evolução dos materiais e dos programas, Nesta perspectiva a abertura de centros de apoio previstos para o seguimento científico das operações, a actualização dos programas e a experimentação pedagógica parecem necessárias ao nível local. Seria com efeito indesejável que a informática tivesse como consequência que só as estruturas pesadas, longe de muitos professores, estejam capazes de tomar as decisões no ensino. Que recursos (locais, regionais, nacionais, internacionais) convem implementar, e que conexões é preciso prever entre eles ?

Grenoble, 15 de Março de 1984