Este artigo pretende pôr questões na mesma linha do artigo de Herbert Wilf "A diskette e o ensino da matemática", que apareceu no AMERICAN MATHEMATICAL MONTHLEY em Janeiro de 1982 e se referia aos problemas postos ao ensino da análise e da álgebra por parte de programas de computador que resolviam equações literais, derivavam e primitivavam, Nesse artigo, Wilf enviou "em tempo" um "sinal de advertência": meios de computação matemática poderosos como MuMath, que estavam diponíveis em microcomputadores, apareceriam muito em breve em computadores de bolso. Esse dia poderá ter chegado. A Casio fx7000-G, introduzida no recente ano de 1986, não é maior do que a vulgar calculadora de mão de 10 dólares, mas representa graficamente funções no seu pequeno visor tipo matriz de pontos. Em Janeiro deste ano, Hewlett-Packard licenciará o seu HP-28C; novamente, uma calculadora manual de tamanho normal que não só representa graficamente curvas mas também faz operações com matrizes, resolução de equações, integração numérica, e, por último mas não a menos importante, manipulação simbólica! Nem a Casio ( 55 a 90 dolares) nem a HP-28C (cerca de 150 dolares) são baratas comparadas com as calculadoras normais, mas qualquer estudante que tenha comprado um livro de Cálculo sem hesitar pode dar-se ao luxo de arranjar uma Casio e dentro de dois anos prevejo o livro a causar mais hesitação do que a HP-28C. As questões que estas calculadoras levantam aos professores de matemática são as mesmas que Wilf formulou em 1982 (depois "bateu em retirada"). As respostas não são de forma alguma claras hoje em dia.

Aqui está um olhar mais pormenorizado sobre as duas calculadoras. A Casio fx7000-G difere de outras calculadoras científicas programáveis por ter um visor maior tipo matriz de pontos que possibilita a representação gráfica e permite ao utilizador ver claramente as expressões que estão a ser determinadas. O traçador pode traçar várias funções simultaneamente. A janela (intervalo de variação das coordenadas x e y) pode ser controlada pelo utilizador e facilmente ser ampliada numa região do gráfico. Um cursor que em movimento traça uma dada curva pode ser parado em qualquer instante para ampliar a função numa vizinhança desse ponto. O traçador de gráficos pode assim ser usado para determinar os pontos de intersecção de duas curvas. A calculadora , contudo, não tem nenhuma rotina interna para resolver numericamente uma equação, nem nenhuma da regra de Simpson como outras calculadoras científicas. Como cada tecla tem três funções, o teclado está cheio de símbolos e abreviaturas.

A HP-28C faz muito mais do que a Casio, e é talvez injusto compará-las. É na verdade a primeira de uma nova gerarão de calculadoras. Embora suficientemente estreita para facilmente se meter num bolso, abre-se para revelar dois teclados. À direita está um visor de quatro linhas e por baixo dele um conjunto de 37 botões que se assemelha vagamente a um teclado de uma vulgar calculadora, À esquerda está um teclado alfabético de 35 botões - há apenas uma simples tecla "Shift" pelo que cada tecla tem só duas funções. Mas onde estão os botões do sen, cos e exp ? E porque é que a fila de cima dos seis botões no teclado da direita não tem rótulos nenhuns? Porque o HP-28C tem menus, e a fila de cima contém as teclas de funções para os diversos fins! Se quiser o seno, carregue no botão TRIG, que activa o menu da trigonometria no fundo do visor, e então carregue no botão da função directamente por baixo SIN (carregue NEXT para ver mais seis funções no menu TRIG). Há outros menus para logaritmos e exponenciais, resolução de equações, funções definidas pelo utilizador, estatística, traçar de gráficos, operações matriciais de edição, aritmética binária, aritmética complexa, operações com cadeias de caracteres, operações de pilha, manipulação simbólica, controle de programas (DO UNTIL, etc.), aritmética real especial (módulo gerador aleatório de números, etc.), impressão (sim, pode-se comprar uma impressora térmica com controle remoto por infravermelhos), e, é claro, um catálogo de todas as operações.

Como outras calculadoras Hewlett-Packard, a HP-28C é uma máquina-"stack," com operadores e operandos dispostos em notação polaca (postfix). Os seus elementos podem ser comandos, números reais ou complexos, listas, cadeias, matrizes ou expressões algébricas como "2*3+5" ou "X*SIN(X)". As expressões podem ser determinadas carregando na tecla EVAL, que pode ser usada como o "=" em calculadoras algébricas pelos aversos à notação polaca. Se "X*SIN(X)" está no cimo da pilha e o quer simbolicamente diferenciado ponha a variável da diferenciação "X" na pilha e carregue na tecla da derivação. Para determinar o seu polinómio de Taylor de grau 5 centrado em 0, entre 5 e carregue TAYLOR no menu algébrico, Para determinar o seu integral definido de 0 a 1 entre a lista ("X",0, 1) e o erro .0001 e carregue o botão do integral. Para desenhar "X*SIN(X)", carregue DRAW no menu dos gráficos: Os parâmetros da janela são controlados pelo utilizador como na Casio fx7000-G; as coordenadas do ponto no visor podem ser determinadas movendo o cursor (em forma de cruz) para o ponto desejado e carregando INS. Para determinar uma solução da equação "X=TAN(X)", ponha-a na pilha seguida da estimativa inicial ou um intervalo da estimativa inicial, e depois carregue ROOT no menu da resolução de equações, Para inverter uma matriz 2x2, com filas [1,2],. e [3,4], carregue [[1,2][3,4]] na pilha e pressione 1/x. Para calcular o sela determinante, carregue DET no menu das tabelas. Para resolver um sistema de equações, ponha a matriz do sistema na pilha, seguida do vector das incógnitas e então tecle ¸. Para multiplicar duas matrizes na pilha, carregue x.

As rotinas numéricas são de alta qualidade. Há 12 dígitos exactos que aparecem no visor e 16 dígitos internos. Por exemplo, escolhendo três dígitos à direita do ponto decimal, "" EVAL dá 549755813888; multiplique o resultado por 2 e aparece 1.100 E12, divida por 2 e reaparece 549755813888. As rotinas também são rápidas. Um pequeno programa escrito para multiplicar uma matriz por si própria 100 vezes demora cerca de 2 minutos a correr quando ela é do tipo 6x6! Há alguns problemas. A memória é limitada comparada com a de um microcomputador: multiplicar matrizes 8x8 é quase tudo o que uma calculadora pode manejar e um pedido do polinómio de Taylor de grau 5 da exp(exp(x-1)) ultrapassa o diferenciador simbólico (tente determinar a quinta derivada sem reagrupar para ver como é - o micro de Wilf leva 4 minutos a obter o polinómio de grau 9 no seu artigo de 1982). Embora as rotinas de álgebra de matrizes sejam precisas e rápidas, a HP-28C nunca encontrou uma matriz que não fosse capaz de inverter (provavelmente, elementos de matriz como 1 E500 deveriam dizer ao utilizador que algo está errado).

Qual a dificuldade no uso destas calculadoras? Embora apenas apagar a memória da Casio fx7000-G seja um desafio sem manual, os estudantes habituados a uma calculadora científica, sentir-se-ão à vontade ao fim de uma ou duas horas. Os modelos Hewlett-Packard são mais para engenheiros do que para estudantes a iniciar o Cálculo, e a HP-28C não é excepção. Leva-se dez horas a tornar-se suficientemente suficiente a operar com todas as potencialidades desta calculadora, e poder-se-ia levar semanas a explorar os meandros da máquina. Felizmente, a documentação não é muito má. Basicamente, se um estudante pode aprender PASCAL, ele ou ela consegue aprender a usar a HP-28C.

Quem usará a HP-28C ? Não é suficientemente potente para ajudar um matemático profissional a fazer manipulação simbólica do mesmo modo que MACSYMA ajudou Neil Sloane. (Veja o seu artigo "My Friend MACSYMA" em "NOTICES" Janeiro1986). Mas muitos dos estudantes de Cálculo achariam a HP-28C preciosa se no seu próximo teste lhes pedissem para derivar , e também eu ficaria se tivesse que traçar o gráfico dessa função. A calculadora não pode resolver um programa linear de vinte variáveis pelo algoritmo simplex, mas pode ser programada para um de oito ou nove variáveis, e eu posso-me ver já a usar a HP-28C nas minhas aulas de álgebra para determinar vectores próprios e valores próprios de uma matriz do tipo 5x5 usando o método das potências.

Poderíamos ranger os dentes se víssemos um aluno a integrar de 0 até 1 carregando numa tecla e obtendo 0,785 (na realidade é preciso carregar em dez tecias para pôr a expressão na pilha e mais dez para entrar os parâmetros de integração e fazer a integração, embora tudo isto leve menos de um minuto). E que tal o comprimento da curva de x=0 até x=1? Algo se perde, algo se ganha.

Os matemáticos são tradicionalmente avesos à tecnologia. Talvez os seus escrúpulos sejam justificados. Pensar na área sob a curva y=1/1+ x2 de 0 até 1 como 0.785 e não como p/4 é não atingir a beleza da misteriosa relação entre áreas e taxas de variação. Os matemáticos são notoriamente lentos a entenderem-se com a tecnologia. Num encontro nos EUA em Janeiro de 1986, foi proposto um programa de Cálculo que recomendava o uso de calculadoras programáveis com tecla para a regra de Simson, embora, tais existam há mais de cinco anos. Os participantes nesse Encontro não faziam ideia de que uma Casio fx7000-G, ou uma HP - 28C espreitava no horizonte. Quanto tempo levará a reconhecer pedagogicamente a existência de tais calculadoras, que muitos estudantes já terão ? Terá que ser "algo ganho algo perdido" ? Não poderá ser só "algo ganho" ? Boas perguntas, mas tal como Wilf em 1982, é provavelmente altura de bater em retirada.