O objectivo deste trabalho é apresentar alguns aspectos do ensino na Faculdade de Matemática da Universidade de Coimbra no período 1867-1911. Esses aspectos referem-se a questões pouco analisadas anteriormente ou relativas a documentos inéditos. Não se procura de modo algum apresentar uma visão definitiva que pecaria necessariamente por simplista em face da quantidade de documentação ainda por analisar.

Este período caracteriza-se por uma grande estabilidade relativamente a períodos anteriores. Longe ia o tempo em que a Universidade fora encerrada durante um ano lectivo inteiro (como aconteceu, pela última vez no século XIX, em 1846-1847). O número de doutorados em Matemática em Portugal era já assinalável e, apesar de todas as vicissitudes, o número total de doutoramentos em Matemática era considerável como se pode observar no quadro seguinte.
 

Não admira assim que em 1867 todas as oito cadeiras do curso de matemática da Faculdade de Matemática da Universidade de Coimbra possuissem professores catedráticos proprietários; existiam ainda nessa mesma data 4 lentes substitutos. A lista completa dos professores (incluindo os professores doutras Faculdades que leccionavam para alunos do curso de matemática) era, em 1872:

O número de alunos que então frequentava a Universidade era de nível semelhante às de outras Faculdades (excepto da Faculdade de Direito que tinha cerca de metade dos alunos de toda a Universidade), embora muitos dos alunos fossem de outras Faculdades visto que eram obrigados a frequentar algumas cadeiras da Faculdade de Matemática. Na Faculdade de Matemática funcionavam ainda várias cadeiras de Desenho, assim como o curso preparatório para a Escola do Exército (que incluía as 6 primeiras cadeiras da Faculdade de Matemática).

De algum modo se pode resumir a orientação geral do curso de matemática neste período, como sendo caracterizada por um certo equilíbrio entre matemática pura e aplicada. Essa ideia transparece também nalguns extractos da "Oração de Sapientia" de Venancio Rodrigues, então lente decano e Director da Faculdade de Matemática, pronunciada em 1877:
 
 

Quadro III - Número de alunos da Faculdade de Matemática

Planos de estudo

As cadeiras do curso de matemática eram, tal como aparecem indicadas no Anuário da Universidade de 1881-82, as seguintes:
 
 

Este plano de estudos é o que vigorou a partir de 1861, data em que uma alteração de planos de estudos levou a que as três cadeiras de matemática pura então existentes fossem reduzidas apenas a duas, e as de matemática aplicada tivessem passado de quatro para seis.

O Curso de Matemática completava-se com 5 cadeiras da Faculdade de Filosophia (uma em cada ano) e duas cadeiras de Desenho (nos dois primeiros anos).

A partir de 1902 foi criada a disciplina de Análise Superior, tendo Bruno de Cabedo sido o seu primeiro professor.

Vários problemas apresentava este plano de estudos. O maior dizia respeito ao facto de haver cadeiras comuns com os alunos das Faculdades de Filosofia (Ciências) e Medicina assim como com os alunos do curso preparatório para a Escola do Exército. Houve mesmo classificações diferentes conforme se tratasse de um tipo de alunos ou outro. Segundo os apontamentos de Sidónio Paes, quando em 1900-1901 leccionou a 1ª cadeira, os alunos de Matemática obtinham aprovação com 3 valores numa escala de 1 a 6, enquanto os outros passavam com 2 valores.

Várias vezes foram apresentadas propostas para obviar a esta situação como seja a separação de cadeiras ou a alteração do programa. Uma proposta apresentada por Luiz da Costa e Almeida em 1885 ao Conselho Superior de Instrução Pública não foi aprovada (Almeida, 1892); ela previa que os alunos das Faculdades de Filosofia e de Medicina (os alunos obrigados) frequentassem uma só cadeira mais elementar, enquanto que os do curso de Matemática (os ordinários) teriam uma cadeira suplementar. Um outra proposta, reproduzida em anexo, apresentada por Sidónio Paes em 1904, não foi aprovada na Congregação da Faculdade de Matemática. A única referência das actas à discussão dessa proposta refere-se a Rocha Peixoto que declarou ter votado contra por Almeida Garret não ter sido consultado sobre o programa da cadeira, ao que Sidónio Pais retorquiu dizendo que era apenas um esboço de programa e que, além da divisão em duas partes, apenas aparecia de novo uma introdução ao cálculo integral. Esta era contudo uma das inovações de tomo da proposta: ao propôr a separação das cadeiras para os diferentes cursos permitia que os alunos de matemática fizessem um estudo mais aprofundado, o que, aparentemente, inviabilizou a proposta por oposição do lente proprietário da cadeira (Almeida Garret encontrava-se ausente em Lisboa em funções políticas).
 
 

Manuais escolares

Uma das preocupações da Reforma de 1772 foi a de determinar que em cada cadeira deveria ser adoptado um manual. Se não houvesse em língua portuguesa um manual adequado deveria ser adoptado um em língua estrangeira. A lista de manuais adoptados em 1872 era a seguinte (Freire, 1872):
 
 

Em 1864-1865 ainda se utilizavam os "Elementos" de Euclides na 1ª cadeira, já a par com uma das várias edições do livro "Curso Completo de Mathematicas Puras" de Francoeur traduzido e sucessivamente revisto por Castro Freire e Souza Pinto. Este livro, de orientação lagrangiana, manteve-se em utilização até 1885-1886. A partir de 1879-1880 foi adoptado cumulativamente o livro "Additamento á Algebra superior de Francoeur" da autoria de Souto Rodrigues. A partir de 1885-1886 passou a ser adoptado na 2ª cadeira o "Cours díAnalyse" de Camille Jordan e a partir de 1889-1890 passou a ser utilizado o curso de análise de Francisco Gomes Teixeira.

Nem sempre a alteração dos manuais foi feita no sentido da actualização. Em 1899 deu-se um incidente curioso que a acta da Congregação da Faculdade de Matemática relata do seguinte modo:
 
 

Por uma votação quase tangencial a alteração foi aprovada.

A falta de compêndios apropriados foi sentida durante este período de tal modo que em 1886, Luiz da Costa e Almeida apresentou uma proposta ao Conselho Superior de Instrução Pública, que não teve seguimento, de serem concedidas facilidades especiais aos professores da 1ª e 2ª cadeiras da Faculdade de modo a compor compêndios para essas cadeiras. Na sua proposta, Luiz da Costa e Almeida considerava que
 
 

Embora possa parecer demasiado radical esta afirmação (certamente politizada para tentar conseguir a aprovação da sua proposta) noutro passo do seu trabalho (Almeida, 1892) Luiz da Costa e Almeida afirma que a obra de Francoeur "já hoje, em parte, mal poderia satisfazer ás exigencias do ensino."
 
 

Métodos pedagógicos

Recorrendo à "Oração de Sapientia" acima citada podemos dar uma ideia dos esforços dos professores para motivarem os seus alunos:
 
 

Das poucas referências conhecidas se pode concluir que o ensino das disciplinas básicas de Matemática atingiu um bom nível. Por exemplo, segundo Sarmento de Beires, Francisco Gomes Teixeira, certamente o matemático português mais importante deste período (Saraiva & Oliveira, 1992), referindo-se ao professor de Álgebra do 1º ano, Torres Coelho, "não esconde a influência decisiva que ele teve na sua vida, afirmando que, desde então, com todo o seu entusiasmo, se dedicou exclusivamente à Matemática."(Beires, 1950)

Também Sidónio Pais e Bruno de Cabedo são lisonjeiramente referidos por outro grande matemático deste período, Mira Fernandes (Saraiva & Oliveira, 1992), como sendo excelentes professores. Segundo o testemunho de Vicente Gonçalves, "Mira Fernandes estudou Cálculo com Sidónio Pais, seguindo o curso de Gomes Teixeira: o mestre fulgia na cátedra e o texto era então dos melhores. Aprendeu Análise com José Bruno, seguindo ora Teixeira, ora Goursat, ora Picard, ao sabor de suas perfeições, mas por vezes também seguindo o mestre, que não raro aqui e além a todos sobrelevava; José Bruno era inexcedível na arte de ensinar e Mira Fernandes foi seu único ouvinte em 1907-08."(Gonçalves, 1971)

Em anexo se apresenta o programa detalhado de duas das disciplinas normalmente asseguradas por Bruno de Cabedo, a de Calculo Diferencial e Integral do 2º ano, e a de Análise Superior do 3º ano. Em relação ao que aparecia uns anos antes (Paes, 1902) já se nota na disciplina de Calculo Diferencial e Integral uma notável evolução ao nível da profundidade teórica (com referência explícita a um resultado do próprio Bruno de Cabedo) e uma introdução à teoria das funções de variável complexa. Esta teoria aparece desenvolvida na disciplina de Análise Superior.

Temas de doutoramento

Até à década de 70 as teses de doutoramento deviam versar obrigatoriamente temas de matemática aplicada. A partir dessa data encontramos temas mais variados como:
 
 

Também os temas das duas lições que os candidatos ao lugar de professor catedrático deveriam proferir eram obrigatoriamente de matemática aplicada, um de Mecânica Racional ou Física-Matemática, e um de Geodesia, Astronomia Prática ou Mecânica Celeste. Por proposta de Luiz da Costa e Almeida, apresentada ao Conselho Superior de Instrução Pública em 1885, os temas das lições do concurso passaram a ser um de Algebra, Análise, Mecânica Racional ou Física-Matemática e um de Astronomia Geodesia, ou Mecânica Celeste.

Os professores da Faculdade de Matemática publicaram um número considerável de trabalhos, muitos de índole didáctica. A maioria desses trabalhos foi publicada na revista do Instituto de Coimbra, e no Jornal de Sciencias Mathematicas e Astronomicas fundado por Francisco Gomes Teixeira.

Conclusão

Muito está ainda por conhecer relativamente a este período, sendo claramente necessária muita investigação. Podemos contudo dizer que o período 1867-1911 se caracterizou por uma grande qualidade em termos de ensino e uma preocupação assinalável pela investigação, mostrando uma actualização notável em relação à matemática que se ia fazendo no estrangeiro, apesar de não se ter produzido muita matemática nova, devido sobretudo aos condicionalismos da época.
 
 

Considerando: que é indispensavel e inadiavel a modificação dos actuais cursos da faculdade de Mathematica.

que a antiga divisão em obrigados e ordinarios, com os mesmos programas d'estudos, não dava horas seguras nem regulares para a apreciação justa dos alunos;

que a ultima organização, supprimindo apparentemente essas classes, retabelece-as de facto, talvez com maiores inconvenientes, pela exigencia do mínimo de 14 valores para o curso geral da faculdade;

que não é lícito exigir habilitação egual aos alunos do curso geral e aos dos cursos preparatórios para as outras faculdades e Escolas;

e finalmente que é possível separar no programma da 1ª cadeira d'esta faculdade uma primeira parte mais elementar para todos os alumnos, e reservar unicamente aos alunos do curso geral o complemento d'essas doutrinas, formando a 2ª parte do programma;

propomos: 1º que todos os alumnos do curso geral da faculdade e dos cursos preparatorios para as faculdades de Medicina e Philosophia e para as Escolas do Exercito e Naval, sejam obrigados à frequencia da 1ª parte do programma da 1ª cadeira e que as materias d'esta parte sejam ensinadas até ao fim do mês de Janeiro.

2º que os alumnos do curso geral (...) e os dos cursos preparatorios para as armas especiaes sejam obrigados à frequencia da 2ª parte do mesmo programma, a qual será professada durante o resto do annno lectivo, sendo dispensados d'esta frequencia os alumnos que se destinarem aos outros cursos.

3º Haverá duas especies d'exames: os da 1ª parte do programma e os do programma total. Serão examinados na primeira parte os alumnos que só tiverem a frequencia da 1ª cadeira até ao fim de Janeiro e aquelles que tendo a frequencia completa declararem no acto do encerramento da matricula que só desejam sujeitar-se à 1ª parte do programma. Serão examinados no programma total os restantes alumnos que tendo a frequencia completa não fizerem aquella declaração.

4º que os alunos submettidos ao exame da 1ª parte não poderão fazer exame da 2ª parte, sem nova frequencia d'esta ultima

5º que seja adoptado o seguinte programma para a 1ª cadeira:

Recapitulação das noções sobre numeros imaginarios e irracionaes. Funcções inteiras. Propriedades fundamentaes. Formula de Taylor. Noções sobre numeros limites. Continuidade. Derivadas das funcções simples. Regras para a derivação das funcções compostas e implicitas. Noção de integral no caso das funcções contínuas. Integração das funcções simples.

Coordenadas. Linha recta. Circunferencia. Equação geral do 2º grau e sua discussão.

Coordenadas. Linha recta. Plano. Esphera.

Determinanates. Sua applicação à resolução das equações lineares. Theoria das equações algebricas. Interpolação. Theoria das formas.

Estudo especial das conicas

Classificação das linhas e superficies. Geração das superficies. Theoria das superficies de 2ª ordem.
 
 

Limites: Limites das successões de numeros racionaes. Numeros irracionaes. Limites das funcções.

Series: Series de termos positivos. Series de termos alternadamente positivos e negativos. Series de termos quaesquer. Operações sobre series. Series cujos termos são funcções. Series inteiras. Circulo de convergencia.

Productos infinitos: Productos infinitos cujos factores são reaes e não menores que a unidade. Productos infinitos cujos factores são quaesquer.

Funcções de variaveis reaes: Limite superior e inferior (Weierstrass). Continuidade. Propriedades fundamentaes das funcções continuas. Das funcções a^x e x^a . .

Funcções de variaveis imaginarias: Funcções elementares de variavel imaginaria.

Infinitamente pequenos: Ordem infinitesimal. Substituições dos infinitamente pequenos.

Derivadas e differenciaes: Theoremas geraes e particulares de derivação.

Relações entre as funcções e suas derivadas: Funcções crescentes e decrescentes. Theorema de Rolle. Theorema dos accrescimos. Theorema de Cauchy. Theorema de J. Bruno de Cabedo. Das funcções cujas derivadas são identicamente nullas.

Derivadas e differenciaes das funcções de muitas variaveis: Inversão na ordem das derivações. Theorema dos accrescimos e da differencial total. Derivadas das funcções compostas. Funcções homogeneas. Differencial total de uma funcção composta com funcções de muitas variaveis.

Funcções implicitas: Derivadas das funcções implicitas. Eliminação das constantes e funcções arbitrarias. Equações differenciaes das superficies cylindricas, conicas e de revolução. Theorema da existencia de uma funcção implicita de uma ou muitas variaveis. Theorema da existencia de um systema de funcções implicitas. Determinantes funccionaes.

Integraes definidos: Existencia dos integraes definidos das funcções continuas. Derivada de um integral definido em relação a um dos seus limites. Comprimento de um arco de curva..

Mudanças das variaveis.

Formula de Taylor: Formula de Taylor segundo Schlömilch e Peano. Derivadas da ordem n. Desenvolvimentos em serie de (1+x)^m, e^x, log(1+x), sen x e cos x.

Maximos e minimos: Maximos e minimos das funcções de uma só variavel.

Indeterminações.

Curvas planas: Tangentes e normaes. Concavidade e convexidade. Asymptotas. Curvatura. Circulo de curvatura. Evoluta.

Curvas no espaço: Tangente. Plano normal. Plano osculador. Curvatura e torsão.

Superficies: Plano tangente. Normal.

Integraes indefinidos: Processos de integração. Decomposição das fracções racionaes em elementos simples. Integração das funcções racionaes. Determinação da parte algebrica do integral de uma funcção racional. Integração das funcções irracionaes. Curvas unicursaes. Integração das funcções transcendentes.

Integraes definidos: Propriedades fundamentaes dos integraes definidos. Processos de integração definida. 1º e 2º theorema da media.

Funcções definidas por series: Continuidade. Derivadas e integaes das series.

Integraes definidos improprios: Propriedades fundamentaes dos integraes improprios. Processos de integração definida. Regras particulares que permittem reconhecer em alguns casos a existencia dos integraes improprios.

Funcções representadas por integraes definidos: Continuidade. Derivação e integração em relação a um parametro.

Integração das differenciaes totaes.

Areas das figuras planas: Expressão da area de uma figura plana em coordenadas cartesianas rectangulares. Expressão de uma area em coordenadas polares.

Referências