Álgebra Linear e Geometria Analítica — Prova Suplementar — 06/03/02

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA FCTUC Duração: 2h ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Seja A uma matriz com elementos reais, do tipo m × n, em que m e n são números inteiros positivos a satisfazer m < n, e com característica m.

(a) Prove que AA^{⊤} é uma matriz simétrica.

(b) Prove que AA^{⊤} é invertível.

(c) Mostre que os valores próprios de AA^{⊤} são números reais positivos.

(d) Prove que x_{∗} = A^{⊤}(AA^{⊤})^{−1}b é uma solução do sistema de equações lineares Ax = b. Calcule ∥x_{∗}∥.

2. Neste exercício todas as matrizes são quadradas de ordem n com elementos reais, em

que n designa um número inteiro positivo. São verdadeiras as seguintes fórmulas:

det(AB) = det(A)det(B) e det(A) = det(A^{⊤}).

(a) Prove que o determinante de uma matriz ortogonal Q ou é 1 ou é −1.

(b) Mostre que T^{−1}RT e R têm os mesmos valores próprios. Qual é a relação entre os vectores próprios de T^{−1}RT e os de R?