Álgebra Linear e Geometria Analítica — Teste 1 — Turma P11 — 16/11/00

Licenciaturas em Bioquímica (opção), Química e Química Industrial e em Engenharias Geológica, Minas e Química

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE COIMBRA

Duração: 30m

ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere a matriz

A = [ \begin{matrix}1 & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

Indique, se for possível, valores reais para a_{21}, a_{12} e a_{22} tais que a matriz A seja:

(a) diagonal;

(b) triangular superior;

(c) triangular inferior;

(d) simétrica com a_{21} = 5;

(e) simétrica e triangular superior;

(f) de permutação;

(g) ortogonal;

(h) uma matriz elementar do tipo E_{ij}(α) com α = 3;

(i) singular;

(j) singular com característica igual a 2.

2. Resolva, através do algoritmo de eliminação de Gauss, o sistema de equações lineares

[ \begin{matrix}2 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ −2 & −2 & −3 & −4 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ] ,

determinando primeiro a factorização P A = LU da matriz A do sistema.