Álgebra Linear e Geometria Analítica — Teste 1 — P5b — 16/11/01

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE COIMBRA

Duração: 40m

ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere o sistema de equações lineares

[ \begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 0 & u_{22} & 0 \\ 0 & 0 & u_{33} \\ 0 & u_{42} & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ c_{3} \\ 1 \end{matrix} ] .

Determine, se possível, valores reais para u_{22}, u_{33}, u_{42} e c_{3} tais que o sistema de equações lineares seja:

(a) impossível;

(b) possível determinado;

(c) possível indeterminado com 1 incógnita livre;

(d) possível indeterminado com 2 incógnitas livres.

(e) Resolva o sistema quando c_{3} = u_{33} = 0 e u_{22} = u_{42} = 1.

2. Escreva, por extenso, a matriz E_{14}(3) de ordem 5.

3. Considere a seguinte matriz

A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] .

Determine, sempre que possível:

(a) a matriz AA^{T} e a sua característica;

(b) a inversa da matriz AA^{T};

(c) a matriz A^{T} A e a sua característica;

(d) a inversa da matriz A^{T} A.