Cálculo Infinitesimal II — Exame – 14/07/00 Licenciatura em Engenharia Informática

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE COIMBRA

Duração: 2h 30m ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere as curvas definidas em coordenadas polares por

\begin{matrix}ρ = sen θ, \\ ρ = \frac{1}{2}. \end{matrix}

(a) Esboce a região do plano interior a ambas as curvas.

(b) Determine os pontos de intersecção das duas curvas.

2. Considere a função f(x) = e^{sen x}.

(a) Determine o polinómio de Taylor de grau 2 em torno do ponto 0 e o respectivo resto na forma de Taylor-Young.

(b) Com base na alínea anterior calcule

lim_{x⟶0} \frac{e^{sen x} − 1 − x(1 + \frac{x}{2})}{x^{3}}.

3. Determine a natureza das seguintes séries numéricas:

(a)

∑_{n=1}^{+∞} \frac{ne^{n} + cos n}{n^{3} + 1}.

(b)

∑_{n=1}^{+∞} \frac{ln n}{n^{2}}.

(c)

∑_{n=1}^{+∞}(−1)^{n} \frac{ln n}{n^{2}}.

v.s.f.f.

4. Considere a sucessão de funções {f_{n}(x)} definida por:

\begin{aligned}f_{n} : & [0, 5] & → & IR \\ & x & ↦ & \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} . \end{aligned}

(a) Determine, caso exista, o limite pontual de {f_{n}(x)} em [0, 5].

(b) Com base na alínea anterior diga se existe convergência uniforme em [0, 5].

(c) Verifique se existe convergência uniforme em [0, 1/2].

5. Sabe-se que o seguinte desenvolvimento em série de potências é válido para todo o

x ∈ IR:

sen x = ∑_{n=0}^{+∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n+1}.

(a) Determine um desenvolvimento em série de potências da função cos(x).

(b) Determine um desenvolvimento em série de potências da função f(x) = ∫_{0}^{x} sen(t^{2})dt.

(c) Indique os raios de convergência em que estes desenvolvimentos são válidos.

6. Considere a seguinte função real de duas variáveis reais:

f(x, y) = \frac{x^{3} − y^{3}}{x^{2} + y^{2}}

e as curvas

C_{1} = {(x, y) ∈ IR^{2} : x = 0}, C_{2} = {(x, y) ∈ IR^{2} : y = 0}.

(a) Calcule os limites de f quando (x, y) tende para (0, 0) ao longo de C_{1} e C_{2}.

(b) O que é que pode concluir sobre lim_{(x,y)⟶(0,0)} f(x, y) com base no resultado da alínea anterior.

Considere agora a função real de duas variáveis reais:

f(x, y) = − ln(x^{3} + y^{3})

e seja (x, y) um ponto do domínio desta função.

(c) Mostre que f_{xy}(x, y) = f_{x}(x, y)f_{y}(x, y).

(d) Indique f_{yx}(x, y) sem efectuar quaisquer cálculos. Justifique a sua resposta.

7. Calcule

∫_{0}^{1} 2 ∫0^{\frac{e^{x}+e^{−x}}{2}} 1 dy dx .

e descreva geometricamente o exterior da região de integração.