Para os participantes neste debate, é concerteza supérfluo sublinhar a relevância, nomeadamente social, da divulgação científica. Há certamente consenso em se reconhecer a importância de uma atitude positiva e interessada face à Ciência em geral, por parte do público leigo e profissionalmente não envolvido em questões de natureza científica ou mesmo tecnológica. E contribuir para criar tal tipo de atitude é (pelo menos) tão importante como promover um aumento da média dos conhecimentos de natureza científica desse mesmo público.

Claro que uma parte dessa atitude é já construída a partir do tipo de experiência havida ao atravessar o sistema de ensino. Mas aí, coexistem factores diferentes, em alguns contextos com consequências antagónicas: há a tentativa de despertar interesse, mas há também uma bagagem mínima de conhecimentos a garantir e há ainda uma avaliação de desempenho a fazer, indispensável se houver uma certidão a passar, com reflexos profissionalizantes ou que tenha de garantir a possibilidade de continuação de estudos a um nível mais avançado.

Nas actividades de divulgação, está-se liberto dos aspectos de curriculum mínimo e, sobretudo, dos aspectos tantas vezes traumatizantes da avaliação, sendo possível contemplar apenas o interesse a despertar e a visão a enriquecer.

Todas estas considerações são pertinentes para qualquer tipo de divulgação científica, mas, no caso da Matemática, ganham particular acuidade por duas razões, por certo não independentes:

• a Matemática é considerada, teoricamente, uma disciplina importante ao nível do ensino secundário e funciona, em certa medida, como um instrumento de selecção, talvez um pouco como funcionou o latim em tempos mais recuados;
• a Matemática é considerada frequentemente pelos alunos como inacessível e os seus familiares aceitam facilmente como normal o mau desempenho em Matemática, tendendo a desculpabilizá-lo, mesmo quando o não aceitam noutras disciplinas.

Em resumo, há um parti pris bastante generalizado¹ contra a Matemática, baseado em numerosas experiências traumatizantes. Esta situação só vem dar uma importância social acrescida ao papel que a divulgação matemática pode ter, embora torne mais difícil, à partida, o quadro em que ela se vai desenvolver.

A minha actividade actual no domínio da divulgação matemática tem-se desenvolvido no âmbito do projecto Atractor. A Associação Atractor – Matemática Interactiva foi criada por escritura de 30 de Abril de 1999 e tem como associados institucionais fundadores: a Associação de Professores de Matemática, a Câmara Municipal de Ovar, o Centro de Matemática e Aplicações Fundamentais da Universidade de Lisboa, a Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, a Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, a Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra, a Sociedade Portuguesa de Matemática, a Universidade de Aveiro e a Universidade do Porto.

O Atractor conta com diversos apoios oficiais:

• do Ministério da Ciência e da Tecnologia, que decidiu integrar na sua Rede de Centros de Ciência Viva o projectado Centro Interactivo dedicado à Matemática;
• do Ministério da Educação, que disponibilizou dois professores para trabalharem a tempo inteiro neste projecto;
• da Direcção dos Edifícios e Monumentos Nacionais, através das Direcções Regionais do Norte e do Centro, que se encarregaram de elaborar o projecto de recuperação e adaptação do edifício cedido para o efeito.

E tem havido reacções recentes extremamente positivas da parte de vários colegas, quer matemáticos, quer de áreas das aplicações da Matemática, que têm mostrado empenho em colaborar activamente no desenvolvimento de módulos que venham a integrar o conjunto expositivo do Atractor.

Um projecto deste tipo não pode ignorar que uma parte muito significativa dos visitantes das suas exposições será constituída por alunos de Escolas dos diversos graus de ensino. Mas, declaradamente, o Atractor, desde o início, tem-se preocupado em não encarar as suas actividades como circunscritas a uma espécie de laboratório de apoio a aulas e, sobretudo, em diversificar os temas abordados, mesmo quando eles só remotamente estão relacionados com os elencos escolares.

Por outro lado, a interactividade, privilegiada como método de comunicação, por favorecer uma atitude activa por parte do público-alvo, levanta naturalmente algumas questões de exequibilidade, no que diz respeito à Matemática. Se a existência de exposições interactivas em ciências experimentais, nomeadamente a Física, é largamente aceite e tem vindo a traduzir-se numa proliferação de Centros Interactivos, a situação é bastante diferente no que diz respeito à Matemática. E a atitude mais frequente, mesmo da parte dos matemáticos, é a de uma prudente reserva, motivada, creio eu, por dois tipos de razões:

• uma certa dificuldade em imaginar contextos interactivos que sejam matematicamente interessantes, quando não mesmo uma convicção de que eles não existem;
• um certo receio de que, mesmo se tais contextos existem, eles venham a dar uma imagem distorcida do que é a matemática, pois esta é por vezes vista como indissociável de uma certa abstracção, que estará nos antípodas da "interactividade".

As pessoas que mais activamente têm colaborado com o Atractor não têm necessariamente visões coincidentes sobre a Matemática e sobre a problemática do seu ensino e da sua divulgação. Isso, na minha opinião, é um factor enriquecedor para o Atractor, com reflexos positivos no tipo da sua actuação, desde que, claro, haja – como até hoje tem havido – uma base consensual sobre certos princípios essenciais. E, entre esse consenso básico, conta-se certamente uma visão mais optimista do que a traduzida nas reservas subjacentes aos dois pontos referidos².

Nomeadamente, a aparente antítese entre o aspecto "abstracto" da Matemática e quaisquer apresentações interactivas, vistas como concretas por excelência, revelou-se-me, em várias situações, como mais aparente do que real. Quando, numa exposição, temos vários modelos concretos que descrevem um mesmo problema e quando o visitante é levado a ver algo de comum – uma mesma estrutura – nesses diferentes modelos e a descobrir que o que há de comum entre eles é o que é realmente interessante, está a aprender, direi talvez mais apropriadamente, está a intuir o que é a abstracção, sem para tal ter de perder o contacto com o manuseamento de objectos concretos. Na parte final desta intervenção darei um exemplo típico de uma situação destas.

Claro que não estou a pretender que toda a Matemática, mesmo a um nível não avançado, é susceptível de uma apresentação interactiva do tipo sugerido. Mas alguma reflexão sobre este assunto tem-me levado gradualmente à convicção de que o leque de possibilidades é muitíssimo mais vasto do que o que à partida se poderia imaginar.

Algumas questões importantes

De entre as numerosas questões com que é confrontado, mais cedo ou mais tarde, quem se debruçar de uma maneira mais atenta sobre a problemática da divulgação científica em geral e da divulgação matemática em particular, restringir-me-ei a comentar três:

• Fazer concessões para agradar? Não? Sim? De que tipo?
• Rigor científico versus interesse ou rigor científico e interesse?
• Será indispensável fixar a priori o nível de conhecimentos dos destinatários?

Postas nestes termos gerais, as questões dificilmente encontrarão respostas universais, pois só com referências a situações particulares concretas é possível saber exactamente de que se está a falar.

Quanto ao primeiro ponto, um caso extremo é o dos "Centros de Diversão Científica"³, que têm surgido em alguns países, em espaços públicos, por exemplo em centros comerciais. O efeito procurado é assumidamente o de diversão e é discutível qual o seu interesse, do ponto de vista de divulgação científica. Por não ter um conhecimento directo de tais recintos, não posso emitir uma opinião pessoal fundamentada, mas posso esclarecer que não tem sido essa a filosofia que tem presidido às escolhas dos módulos para o Atractor. Se obviamente não se pode esquecer qual o impacto sobre o público em termos expositivos, por exemplo pelos aspectos estético, de surpresa, ou mesmo lúdico, o critério tem sido o de não incluir nada a que não se atribua algum aspecto matemático considerado interessante. Nomeadamente, a escolha dos jogos tem sido feita com a mesma preocupação.

Dito isto, é bem claro que alguns assuntos, mesmo interessantes ou representativos de áreas importantes, não foram ainda tratados, porque não foi (ainda) encontrada uma forma de os tornar aliciantes do ponto de vista expositivo⁴. E esse é um aspecto em que estamos a aprender e podemos todos ser considerados principiantes.

A questão do rigor científico é, no meu entender, muito importante em qualquer forma de divulgação científica e, muito particularmente, na divulgação matemática. Ao abordar esta questão, é essencial começar por desfazer um possível equívoco: o "rigor" de que aqui se está a falar não tem nada a ver com o uso de uma linguagem técnica especializada, que, evidentemente, não tem cabimento numa apresentação de qualquer tipo dirigida ao grande público. Tem, sim, a ver com a criteriosa escolha das inevitáveis analogias a que se terá de recorrer e da linguagem usada. Esta, mesmo se imprecisa segundo critérios correntes entre os matemáticos, deve poder ser tornada mais precisa sem ter de ser completamente substituída.

A minha opinião é que a questão do rigor científico, neste sentido lato, é crucial em qualquer forma de divulgação científica (não só matemática) e que é preferível sacrificar a apresentação de uma ideia ou prescindir de uma analogia, se não se consegue fazê-lo com rigor. E isto, repito, não é nada específico da divulgação matemática: tenho encontrado textos de divulgação com várias formas pretensamente sugestivas de descrever fenómenos físicos, que desvirtuam completamente as ideias físicas subjacentes a esses mesmos fenómenos. Creio que se trata de um mau serviço prestado à divulgação científica. E não creio que haja nenhuma forma de incompatibilidade entre o rigor – neste sentido lato – e o interesse expositivo dos módulos e a sua capacidade de cativar os visitantes.

O nível etário dos destinatários e os conhecimentos pressupostos são factores que condicionam a linguagem usada e a apresentação dos módulos. Mas nem sempre condicionam, ao contrário do que se poderia supor, os próprios módulos em si mesmos. Tem-se verificado frequentemente um mesmo módulo despertar interesse numa gama muito variada de pessoas com idades ou níveis de preparação muitíssimo diferentes. E, mesmo no que diz respeito à linguagem, parece ser possível fazer apresentações interessantes visando simultaneamente públicos com bagagens e maturidade diferentes. O Atractor tem o projecto de realizar exposições em que, junto de cada módulo, se encontrará, sob a forma impressa, relativamente pouca informação, que procurará sempre usar linguagem simples e acessível, reservando-se a informação mais completa para uma rede local de computadores. Aí, o visitante poderá facilmente escolher, entre vários disponíveis, o nível de esclarecimentos que melhor se adapta à sua curiosidade e à sua preparação ou maturidade matemática. E, sempre que possível, essa informação disponível em rede usará programas interactivos, que encorajem uma atitude activa por parte do utilizador.

Claro que a exequibilidade de um tal projecto terá de ser testada e avaliada e o próprio projecto virá a sofrer as alterações resultantes da análise que for feita.

Alguns exemplos concretos

Um exemplo típico de um módulo que desperta um interesse para uma gama muito alargada de públicos é o dos três caleidoscópios tridimensionais. Constituídos por triedros espelhados interiormente, cada um correspondente a uma região fundamental, respectivamente do cubo, do dodecaedro e do tetraedro, chamam a atenção do público mais "distraído"

pela beleza das imagens que proporcionam. Essa "contemplação" das imagens, de um ponto de vista apenas estético, é em geral seguida de uma experimentação e de uma curiosidade que, mesmo quando não encontram as respostas às questões levantadas, encerram aspectos muito positivos. Estes aspectos são facilmente acessíveis a crianças ou pessoas sem qualquer bagagem matemática prévia. Mas há depois toda uma gradação nos níveis a que estes caleidoscópios podem ser utilizados, consoante a bagagem matemática de quem os observa. E é enorme a riqueza de observações matemáticas que permitem, quer no aspecto geométrico, quer no aspecto algébrico, mesmo para pessoas com um curso de nível superior em Matemática. Nesta última situação, por exemplo as ideias de operação de grupo e de operação transitiva de grupo são ilustradas de uma forma muito "concreta", alguns dos subgrupos do grupo de simetria do poliedro – aqueles que são gerados apenas pelas reflexões num espelho ou em dois espelhos de um diedro – são claramente identificáveis e as respectivas classes laterais podem ser vistas muito distintamente como imagens perfeitamente diferenciadas. E se, no caso do grupo total, pode ser difícil para o visitante identificar através das imagens a lei de composição, já o mesmo não sucede para o caso de subgrupos com um número reduzido de elementos, em que a tabuada da composição é facilmente dedutível.

Outro tipo de observações muito instrutivas surge ao constatar que algumas das imagens – por exemplo um octaedro – tanto podem ser vistas no caleidoscópio cúbico como no tetraédrico, mas, para que isso suceda, é necessário que o objecto a introduzir no caleidoscópio tetraédrico já tenha alguma simetria, o mesmo não sucedendo no caso do caleidoscópico cúbico! Algo que corresponde, como é sabido, ao facto de o cubo ter "o dobro" das simetrias do tetraedro.

Dois exemplos de jogos que têm estado presentes em exposições do Atractor são os jogos do Hex e de Sperner. Têm alguma semelhança na matemática que lhes está subjacente, pelo que me restrinjo a descrever o segundo, por menos conhecido. Um tabuleiro tem um triângulo com três vértices coloridos com três cores distintas – digamos verde, azul e vermelho – e esse triângulo está triangulado com triângulos mais pequenos. Há um conjunto de fichas com aquelas três cores e cada jogador, alternadamente, vai colocando uma ficha em cada vértice da triangulação. Única regra a respeitar: em cada lado do triângulo grande só é possível utilizar uma das cores que figuram nos extremos desse lado. Perde o jogador que primeiro completar um pequeno triângulo com vértices das três cores.

As regras são simples e qualquer pessoa pode obviamente jogar um tal jogo, independentemente da sua bagagem matemática. Será que este jogo pode empatar? É fácil ver que esta interrogação equivale à seguinte: será possível colorir todos os vértices dos pequenos triângulos segundo as regras acima indicadas sem fazer surgir um pequeno triângulo com as três cores representadas nos seus vértices? Sob esta aparência anódina, não é fácil para um leigo, suspeitar que a resposta a esta pergunta encerra um resultado matemático de alguma profundidade, caso particular de um lema de topologia algébrica e com suficiente poder para permitir a demonstração do teorema do ponto fixo para funções contínuas num disco fechado. Mas o interessante naquela pergunta é que:

1. para lhe responder, não é necessário ter quaisquer conhecimentos de topologia algébrica, nem sequer ter alguma vez ouvido falar neste ramo da matemática; na realidade, a resposta não exige sequer a priori nenhuma bagagem técnica especial, embora requeira certamente alguma capacidade de raciocínio e de imaginação.
2. o esforço para encontrar uma resposta, mesmo que não coroado de êxito, obriga a um raciocínio de tipo geométrico que, na minha opinião, tem um grande interesse em si mesmo, que é independente do (in)sucesso final desse esforço.

Para ilustrar estes dois pontos, vale a pena referir dois casos que testemunhei directamente e que permitem, o primeiro corroborar que a capacidade para resolver o problema é relativamente independente da bagagem matemática anterior e o segundo compreender melhor como as acções do tipo das que o Atractor leva a cabo podem ter um impacto que transcende o que à primeira vista se poderia esperar.

• No primeiro ano em que este jogo esteve numa exposição na FCUP – ainda não existia o Atractor – , não se dizia se o empate era possível ou não e pedia-se: ou para o visitante indicar numa folha de papel uma situação de empate ou para mostrar por que razão o empate era impossível. Para o fim da exposição estava anunciada uma projecção comentada de um filme, que sugeria a resposta correcta. O que sucedeu foi que vários alunos de vários anos tentaram durante toda a semana obter uma resposta à questão e foi um aluno do início da licenciatura que obteve uma resposta correcta.
• O segundo caso ocorreu durante uma das primeiras exposições do Atractor: numa das visitas em grupo, de alunos de uma escola secundária, um dos alunos interessou-se de tal maneira por este jogo e pela questão levantada que passou todo o tempo da visita a contas com o problema, não tendo visto o resto da exposição! E, passado algum tempo, recebi com grande espanto, enviado pelo professor que o acompanhara na visita, um texto ilustrado, com várias páginas, em que o aluno, por iniciativa própria, embora encorajado pelo professor, tinha redigido uma tentativa de explicação de por que razão não podia haver empate. Exemplos deste tipo são compensadores do esforço que representa a preparação de todo este material e tendem a desfazer a ideia que só assuntos próximos do programa curricular podem motivar ou interessar os alunos que visitam as exposições.

Um exemplo que me parece ilustrar particularmente bem como é possível transmitir uma certa noção de abstracção sem descaracterizar o tipo de exposições interactivas que o Atractor procura realizar é o das chamadas Torres de Hanoi.

O problema proposto neste jogo consiste, como é sabido, em encontrar uma estratégia óptima para mudar uma pilha de discos de uma haste para outra, movendo um disco de cada vez e nunca colocando um disco maior sobre um mais pequeno. É um jogo que permite uma excelente forma de introduzir a noção de indução e é muito utilizado no ensino tradicional. A essência do processo baseia-se na simples observação de que se eu sei mudar, segundo as regras, a pilha de todos os discos excepto o maior, posso fazê-lo uma primeira vez, depois mudo o disco maior e finalmente repito as operações iniciais, mas agora para a outra haste, aquela onde previamente coloquei o disco grande; e, assim, terei sabido mudar todos os discos. Ressaltam desta observação duas constatações:

• o disco maior só se move uma vez;
• os movimentos antes do deslocamento do disco grande têm uma complexidade semelhante à dos que lhe são posteriores.

Por recorrência, é fácil concluir que: o segundo maior disco se move duas vezes, uma antes do movimento do maior disco e outra depois e que, por exemplo nos movimentos antes do disco grande, a complexidade dos movimentos dos que são anteriores ao do segundo maior disco é semelhante à dos que lhe são posteriores. E assim sucessivamente. A mesma conclusão pode aliás ser tirada empiricamente por qualquer visitante ao fim de alguns jogos. O comportamento acabado de descrever corresponde a uma espécie de auto-semelhança da solução óptima deste jogo. É, pois, de esperar que qualquer bom modelo para a estratégia deste jogo reflicta de algum modo essa espécie de auto-semelhança. É o que sucede⁵ com os três modelos já expostos (e também com um quarto que ainda não foi concretizado):

1. o primeiro, tridimensional e com aspecto fractal, em que um percurso ao longo de uma certa linha dá de uma forma codificada, mas visualmente clara, a lista dos movimentos;
2. outro, em que, após uma criteriosa atribuição de massas aos diversos discos⁶, são marcados os centros de gravidade correspondentes às diferentes distribuições possíveis dos discos pelas três hastes e de seguida, para cada movimento de um disco, é acrescentado um segmento com a cor desse disco, unindo os dois centros de gravidade do sistema de discos – antes e depois do movimento;
3. um terceiro, em que, após numeração das hastes – por exemplo 0, 1, 2 –, é escrita a lista dos movimentos

As duas "constatações" acima mencionadas ressaltam imediatamente e de modo flagrante, em todos estes modelos, mesmo para o visitante mais distraído. E isso cria a ideia de que há algo de comum entre estes três modelos, apesar de terem aparências tão distintas. Descobrir essa estrutura comum, eventualmente difícil de caracterizar rigorosamente pela maior parte dos visitantes, mas muito fácil de apreender intuitivamente, é aceder a uma forma de abstracção, que é introduzida sem fazer perder a interacção com objectos e representações concretos.

Os exemplos que acho mais apropriado referir neste contexto correspondem a algo que não foi ainda exposto pelo Atractor, embora já haja planos concretos sobre a forma de o fazer e já haja também algum material interactivo disponível na página WWW do Atractor. Prendem-se com noções topológicas, cuja definição em termos matematicamente precisos é bastante técnica e exige o domínio de alguns conceitos profundos, mas de que é possível dar ideias intuitivas que não requerem nem o domínio dessa técnica nem desses conceitos. Há, no entanto, que ter um extremo cuidado para evitar que essa abordagem intuitiva veicule ideias erradas. E uma confirmação da necessidade deste cuidado é dada pela relativa frequência com que surgem confusões sobre este tema em livros de vulgarização matemática.

• Um modelo em papel da tira de Möbius, "fabricado" da maneira usual, constitui simultaneamente um exemplo de uma superfície com um só lado e de uma superfície não orientável. Mas, enquanto um dos conceitos – a orientabilidade – é intrínseco, a existência de apenas um lado depende também do espaço ambiente em que a tira está mergulhada e, por vezes, da forma como o está. Por outras palavras: qualquer tira de Möbius é não orientável, mas há tiras de Möbius que têm apenas um lado e outras que têm dois lados... É difícil transmitir estas ideias directamente, porque o único espaço tridimensional que a nossa intuição consegue imaginar é R³ ou um seu subespaço. Há, pois, que proceder por analogias com algo em dimensão inferior e, por exemplo, exibir circunferências que têm dois lados e outras que apenas têm um.
• A própria ideia intuitiva de escolha de "uma orientação" numa superfície de R³ requer já algum cuidado: se se vê a superfície como transparente e a orientação como dada por um arco orientado desenhado na superfície, é essencial fazer perceber que a orientação da superfície não muda quando, ao olharmos para a superfície a partir do lado oposto, vemos um arco aparentemente orientado em sentido contrário:

(cf. http://www.fc.up.pt/atractor/mat/orient.html)

• Também a descrição, que por vezes surge em obras de divulgação, da topologia como o estudo das propriedades de figuras "de borracha" – para sugerir por este modo que é o estudo das propriedades que são invariantes por deformações – exige grande cautela. A deformação de uma figura noutra diferente requer, explicita ou implicitamente, que seja dado um espaço ambiente onde tem lugar essa deformação; e a possibilidade de deformação de uma figura noutra não depende apenas das figuras, mas também do espaço ambiente em que elas estão mergulhadas. Por exemplo, se tomarmos uma tabela de nós não equivalentes dois a dois no espaço tridimensional, isso não impede que todos eles se desfaçam em R⁴ e sejam equivalentes ao nó trivial (i.e., sejam todos deformáveis entre si). Por outro lado, cada nó, como espaço topológico, é equivalente a uma circunferência, independentemente do espaço em que está mergulhado e do grau de complicação desse mergulho.
• Exactamente o mesmo tipo de cuidado será indispensável ao apresentar o teorema de classificação das superfícies fechadas orientáveis, um projecto que o Atractor tem em estudo, embora ainda numa fase inicial. Tentar transmitir para o grande público a ideia da força daquele teorema e, ao mesmo, a simplicidade da conclusão, não é tarefa fácil. Mas, de qualquer modo, antes de transmitir a ideia da conclusão surpreendente que qualquer superfície nas condições descritas é equivalente (topologicamente) a uma das de uma lista particularmente simples, há algo que será indispensável fazer previamente e que não é fácil: explicar, com módulos cuidadosamente pensados, o sentido de equivalente (topologicamente). Esta é uma noção que importa não confundir com a de deformabilidade. A lista das superfícies distintas no espaço tridimensional seria bem mais longa se a equivalência escolhida fosse esta última: basta pensar em todos os nós (tubulares) distintos no espaço tridimensional, que, topologicamente, correspondem apenas a um elemento da lista: o toro.

Estes exemplos serão suficientes para dar uma ideia do tipo de cuidados a ter e, talvez também, das dificuldades que surgem precisamente quando se quer ser rigoroso nas ideias a transmitir, mas sem que esse rigor se traduza numa apresentação formal dessas ideias. Em algumas situações, nomeadamente nas acima dadas como exemplos, trata-se de verdadeiros desafios que se nos colocam. Possam estes exemplos despertar o interesse de colegas para aceitarem desafios análogos relativamente a outros temas e assim contribuírem para o enriquecimento do Atractor e a qualidade da divulgação matemática que ele pretende levar a cabo!