Matemática no Ocidente Europeu

Evolução da Álgebra

       Os primeiros a dispor de um método para obter as soluções das equações do segundo grau foram os babilónios. Os árabes, com a panóplia de informação de diferentes civilizações, evoluíram no rigor e no tratamento de equações do 2º e do 3º grau. Em 1202, Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci, durante o seu contacto com as diferentes civilizações publicou a obra Liber Abaci. As obras de Fibonacci abriram portas para a álgebra na Itália da Renascença. No séc. XV Luca Pacioli, embora não tenha feito progressos na álgebra, cria o famoso número de ouro e tenta tornar a escrita retórica (palavras) numa escrita sincopada (abreviações).

         Por exemplo: A equação  numa escrita retórica ficaria “quadrados iguais a raízes e um número”. A expressão  numa escrita sincopada ficaria “RV4mR320” onde o V simboliza que a raiz aplica-se a toda a expressão.

       Cem anos depois Nicolo Tartaglia encontra um método para calcular equações do 3º grau do tipo  Basta determinar dois números a e b cuja diferença seja q e cujo produto seja o cubo de p/3 , assim  é solução da equação. Não foi Tartaglia o 1º a publicar esta solução mas sim Cardano na Ars Magna. Esta obra trata minuciosamente 13 diferentes tipos de equações e suas soluções. Cardano indica como retirar o termo de grau dois numa equação do 3ºgrau fazendo a mudança de variável  ou . Este matemático reconhece que tem fragilidades em trabalhar com raízes negativas e apresenta diferentes abordagens quando tal acontece. Bombelli para combater as equações onde surge uma raiz negativa cria o imaginário, e suas regras operatórias, conseguindo assim resolver todas as equações do 2º e 3º grau. Em Portugal, Pedro Nunes pega nas obras de Tartaglia-Cardano e cria uma álgebra com um maior rigor, perfeição e clareza de exposição.

         O autor do método para determinar a solução de uma equação do 4º grau foi Ludovico Ferrari. Este matemático, usando o conhecimento de Bhaskara, transforma uma equação de grau 4 numa equação de grau 3 de onde são conhecidos todos os métodos para obter as suas soluções. Com Ferrari, os métodos para determinar estas equações estavam terminados, no entanto, a notação que facilita a leitura de documentos evoluiu muito lentamente. Neste campo destacam-se Nicolau de Oresme (séc. XVI) com notações para frações; Viète (séc. XVII) com notações para incógnitas; Descartes com a classificação das equações pelo grau.

Das Equações à Álgebra Moderna

        O método consiste em saber fazer, convenientemente, uma mudança de incógnita do tipo , onde  irá eliminar todos os termos do polinómio com exceção do 1º e do último. Deste modo, obtém-se uma equação simples que se resolve com uma única extração de raiz. Vandermonde e Lagrange (séc. XVII) usando o Teorema Fundamental da Álgebra e a fórmulas de Viète põem em causa a existência de uma fórmula resolvente para equações do 5º grau. Lagrange afirma que o problema está em encontrar “todas as permutações” das raízes do polinómio. Hoje chamamos a estas permutações de grupo simétrico, S_n . Ruffini, usando os trabalhos de Lagrange, demonstra, vagamente, que a equação de grau 5 não é resolúvel por radicais.

        Deve-se a Évariste Galois (séc XIX) a demonstração da impossibilidade de existir fórmula resolvente para o 5º grau e grau superior. Este matemático reúne o trabalho de matemáticos anteriores, inclusive Gauss e Abel, e cria a Teoria de Grupos/Corpos. Esta teoria mostrou-se ser importante e fundamental nas áreas de Teoria dos Números, Geometria e Álgebra.

      As famosas questões das construções geométricas da Grécia Antiga são facilmente respondidas usando Corpos e suas dimensões.

Outras geométricas

        Nos Elementos de Euclides existe uma definição que levou muitos matemáticos a tentar provar a sua veracidade. Essa definição é o 5º postulado.

        No livro I dos Elementos existem proposições que dependem do postulado das paralelas, elas são a proposição I, 17 e as proposições depois da 28 com a exceção da 31. Assim, todas as outras são independentes, como as que indicam o caso das congruências de triângulos.

        Os primeiros a tentar provar, com algum rigor, o 5º postulado foram os árabes Ign al-Haytham e Omar Khayyam usando o método de redução ao absurdo. Mais tarde John Wallis substitui o 5º postulado por outra definição e prova o postulado das paralelas. Infelizmente a definição que usou é equivalente ao postulado, logo a sua prova não é válida. Saccheri (séc. XVII) pegou no quadrilátero de Omar e quando tentou provar, por redução ao absurdo, o 5º postulado chegou a conclusões válidas num outro “universo” mas, desistiu de tudo o que descobriu por ser “algo que repugna a Natureza”. Johann Lambert, Adrien Legendre e John Playfair construíram outras proposições independentes do 5º postulado e notaram que a “visualização” dessas proposições era possível numa “Superfície Esférica Imaginária”. No séc. XIX, Schweikart e Taurinus provaram que de facto era possível construir estas proposições usando propriedades esféricas imaginárias.

        Carl Gauss, Johann Bolyai e o russo Lobatschewski criaram a geometria hiperbólica (séc XIX). Gauss foi o 1º a descobrir a nova geometria, no entanto, não a publicou com medo das críticas dos incultos. O filho do seu amigo, Johann Bolyai, também descobriu esta nova geometria e sem receio publicou-a. Mais tarde, Lobatschewski demonstra com mais rigor e simplicidade a geometria hiperbólica, no entanto, esta nova descoberta só ganhou poder em 1867 com a publicação de um trabalho de Bernhard Riemann.

        Riemann com a distinção entre ilimitado e infinito, criou a geometria elíptica. Esta geometria é construída numa superfície esférica onde facilmente se verifica que um quadrilátero pode ter a soma dos ângulos internos superior a , ou seja, o quadrilátero de Omar/Saccheri para o caso do ângulo obtuso. Esta “visão” associada à superfície e à métrica conduziu à conceção da possibilidade de uma infinidade de geometrias.

      Para interpretar os conceitos primitivos no qual os axiomas transformam-se em proposições verdadeiras usam-se modelos. Eugenio Beltrami criou o modelo da Pseudo-Esfera onde as curvas (retas da geometria hiperbólica) verificam praticamente todas as proposições da geometria hiperbólica. Para facilitar esta visualização ainda criou o “mapa de Beltrami” onde as curvas transformam-se em retas.

         A aceitação das novas geometrias criou um enorme impacto em todas as áreas do saber. As questões que se levantaram incidiam na consistência da axiomática dos Elementos de Euclides.

       Para combater este problema, o matemático Hilbert constrói os novos Fundamentos de Euclides. Começa por introduzir conceitos primitivos, de seguida diz que todos os axiomas são independentes uns dos outros, por último prova que “se a geometria euclidiana é consistente então a Aritmética também o é”. A demonstração de consistências entre as geometrias foi reduzida a nada quando Gödel, em 1931, mostra que “ não é possível provar a consistência duma teoria dedutiva dentro da própria teoria”.