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Resolução da questão 5 da Prova escrita de Matemática A de 2012

questao

Para responder a esta questão, observemos que nos é dada a equação da função f e, como sabemos, o declive da reta tangente no ponto a é a imagem do mesmo ponto no gráfico da função derivada de f, f'(x).

Ora, se f(x)=ln(x3+2) então f(x)=1x+6 e f(a)=1a+6.

Para descobrir o declive da reta tangente, r, no ponto a, usemos a informação de que a sua inclinação é de π4rad, ou seja, o declive será $$1=\arctan(\frac{\pi}{4}).Ora,f'(a)=1=\frac{1}{a+6}$$
 ou, equivalentemente, a=-5.
 Como podemos verificar na figura que se segue, onde estão traçados os gráficos das funções f'(x) e y=1 e o ponto de interseção, (-5,1).

f'(x)

Na seguinte tabela estão apresentadas as opções de resposta e o declive da reta que lhe é tangente.


Opções
Declive da reta tangente no respetivo ponto
(A) 4
f(4)=12
(B) 92
f(92)=23
 (C) 112
f(112)=2
 (D) 5
f(5)=1


Como se pode verificar, apenas a resposta  (D) -5 está correta!