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Resolução
da questão 5 da Prova escrita de Matemática A de 2012

Para responder a esta questão, observemos que nos é dada a equação
da função f e, como sabemos, o declive da reta tangente no ponto a é
a imagem do mesmo ponto no gráfico da função derivada de f, f'(x).
Ora, se f(x)=ln(x3+2) então f′(x)=1x+6 e
f′(a)=1a+6.
Para descobrir o declive da reta tangente, r, no ponto a,
usemos a informação de que a sua inclinação é de
π4rad, ou seja, o declive será $$1=\arctan(\frac{\pi}{4}).Ora,f'(a)=1=\frac{1}{a+6}$$
ou, equivalentemente, a=-5.
Como podemos verificar na figura que se segue, onde estão
traçados os gráficos das funções f'(x) e y=1 e o ponto de
interseção, (-5,1).

Na seguinte tabela estão apresentadas as opções de resposta e o
declive da reta que lhe é tangente.
Opções
|
Declive da reta tangente
no respetivo ponto
|
(A) −4
|
f′(−4)=12
|
(B)
−92
|
f′(−92)=23 |
(C)
−112
|
f′(−112)=2 |
(D) −5
|
f′(−5)=1 |
Como se pode verificar, apenas a resposta (D) -5 está
correta!