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Resolução da questão 5 da Prova escrita de Matemática A de 2012

Para responder a esta questão, observemos que nos é dada a equação da função f e, como sabemos, o declive da reta tangente no ponto a é a imagem do mesmo ponto no gráfico da função derivada de f, f'(x).

Ora, se

$f(x)=ln(\frac{x}{3}+2)$ então

$f'(x)=\frac{1}{x+6}$ e

$f'(a)=\frac{1}{a+6}$ .

Para descobrir o declive da reta tangente,

$r$ , no ponto

$a$ , usemos a informação de que a sua inclinação é de

$\frac{\pi}{4}rad$ , ou seja, o declive será $$1=\arctan(\frac{\pi}{4})

$. Ora,$ f'(a)=1=\frac{1}{a+6}$$
ou, equivalentemente, a=-5.
Como podemos verificar na figura que se segue, onde estão traçados os gráficos das funções f'(x) e y=1 e o ponto de interseção, (-5,1).

f'(x)

Na seguinte tabela estão apresentadas as opções de resposta e o declive da reta que lhe é tangente.

Opções	Declive da reta tangente no respetivo ponto
(A) $-4$	$f'(-4)=\frac{1}{2}$
(B) $-\frac{9}{2}$	$f'(-\frac{9}{2})=\frac{2}{3}$
(C) $-\frac{11}{2}$	$f'(-\frac{11}{2})=2$
(D) $-5$	$f'(-5)=1$

Como se pode verificar, apenas a resposta (D) -5 está correta!