1. Seja $n$ um número natural.
   
   Determine $\frac{\sqrt{3}i^{4n-6}+2cis(-\frac{\pi}{6})}{2cis(\frac{\pi}{5})}$.
   Apresente o resultado na forma trigonométrica.
2. Seja $\alpha\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$.
   Sejam $z_1$, $z_2$ dois números complexos tais que $z_1=cis\alpha$ e $z_2=cis(\alpha+\frac{\pi}{2})$.
   Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de $z_1+z_2$, no plano complexo, pertence ao 2º quadrante.

Resolução:

1. $\frac{\sqrt{3}i^{4n-6}+2cis(-\frac{\pi}{6})}{2cis(\frac{\pi}{5})}=\frac{\sqrt{3}(-1)+\sqrt{3}-1}{2cis(\frac{\pi}{5})}=\frac{-i}{2cis(\frac{\pi}{5})}=\frac{1}{2}cis(\frac{13}{10})$
   
   Uma vez que:
   
1. $i^{4n-6}=-1$, pois $i^{4n}=1$ e $i^{-6}=1$;  
   Note-se que:

   $i^{4n+2}$	$i^{4n+2}$	$i^{4n+3}$	$i^{4n}$
   $i$	$-1$	$-i$	$1$

   
   
2. $2cis(-\frac{\pi}{6})=2[cos(-\frac{\pi}{6})+isen(-\frac{\pi}{6})]=2[\frac{\sqrt{3}}{2}+i(-\frac{1}{2})]=\sqrt{3}-i$
   
   
3. $\frac{-i}{2cis(\frac{\pi}{5})}=\frac{cis(\frac{3}{2}\pi)}{2cis(\frac{\pi}{5})}=\frac{1}{2}cis(\frac{3}{2}\pi-\frac{\pi}{5})=\frac{1}{2}cis(\frac{13}{10})$.
   
   
   
2. Sabemos que $\alpha\in]\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}[$ e que $z_1=cis\alpha$ e $z_2=cis(\alpha+{\pi}{2})$ e queremos $z_1+z_2$.
   
   Ora $z_1+z_2=cis\alpha+cis(\alpha+{\pi}{2})=cos\alpha+isen\alpha+cos(\alpha+{\pi}{2})+isen(\alpha+{\pi}{2})$
   
   Por redução ao primeiro quadrante, sabemos que $cos(\alpha+{\pi}{2})=-sen\alpha$ e $sen(\alpha+{\pi}{2})=cos\alpha$
   
   Vem então que, substituindo, $z_1+z_2=cos\alpha+isen\alpha-sen\alpha+icos\alpha$, ou seja, $z_1+z_2=(cos\alpha-sen\alpha)+i(sen\alpha+cos\alpha)$.
   
   Para $\alpha\in]\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}[$,
   

1. $sen\alpha>cos\alpha$ donde $cos\alpha-sen\alpha<0$
   
2. $sen\alpha+cos\alpha>0$

Isto é, a parte real do complexo $z=z_1+z_2$ é negativa e a parte imaginária é positiva, logo podemos concluir o pretendido: a imagem geométrica de $z_1+z_2$, no plano complexo, pertence ao 2º quadrante.