As applets são pequenos programas Java que podem ser inseridos dentro de páginas HTML.
Com este recurso, uma página torna-se dinâmica, podendo interagir com o usuário que a consulte.
Um applet pode ainda executar tarefas complexas, como realizar cálculos e apresentar gráficos, sons e imagens em movimento.

Algumas das apliquetas utilizadas nas aulas foram as seguintes:

Contra-exemplos

1) Nem toda a função contínua é derivável; exemplo f(x)=|x+1| para x=-1; a função é contínua em todo o R mas não tem derivada para x=-1; tal observa-se bem porque as secantes que se aproximam de x=-1 pela esquerda e pela direita não tendem para nenhuma reta (que seria a reta tangente à cruva em x=-1)

2) Nem toda a função contínua é derivável; exemplo f(x)=raiz quadrada de(|x+1|) para x=-1; a função é contínua em todo o R mas não tem derivada para x=-1; tal observa-se bem porque as secantes que se aproximam de x=-1 pela esquerda e pela direita não tendem para nenhuma reta com declive (nota: retas verticais não possuem declive)

3) Se não é contínua poderá ser derivável? A função definida por x^2/2 para x<1 e por x^3-1 para x>=1 serve de cobaia.

4) Dada a função contínua definida por |x|^x (para x diferente de zero, sendo igual a 1 para x=0) existirá derivada no ponto x=0? Nota que as retas verticais não têm declive.

5) Dada a função contínua definida por x^2 sin(1/x) que vale zero para x=0, será ela derivável para x=0?

6) Dada a função contínua definida por x sin(1/x) que vale zero para x=0, será ela derivável para x=0?

7) Uma função descontínua que não oferece dúvidas.

8) Uma função descontínua que não oferece dúvidas.

Nota sobre os gráficos: a recta tangente é representada a vermelho (o ponto vermelho é o ponto de tangência), a recta secante é representada a verde (a recta secante passa pelos pontos vermelho e verde); no gráfico pode movimentar-se a secante, arrastando o ponto verde.


Aqui está uma versão que aparece como um botão na página web. Nesta versão, o nome do parâmetro é "t". Para além da função de arranque, estão disponíveis vários exemplos de funções. Para carregar um, seleccione-o no menu pop-up no topo do applet e clique no botão "Load Example". Além disso, o applet foi criado para responder às acções do rato sobre a tela: clique para diminuir o zoom, deslocar-clique para ampliar, clique e arraste para desenhar uma caixa de zoom e botão direito do rato e arraste para mover.


Nesta tarefa vamos utilizar uma apliqueta que se pode utilizar directamente na Internet sem necessidade de instalação. Esta apliqueta vai permitir estudar a convergência de sucessões de números reais.

Depois de carregar a apliqueta vê-se um gráfico da sucessão de termo geral:


                                                                                                                    

http://users.dickinson.edu/~richesod/limitsequence/


A sucessão que parece convergir para o valor L=1. Arrastando o cursor e  podemos aumentar ou diminuir o seu valor e assim controlar a largura da faixa horizontal que está no eixo dos YY entre os valores L-e e L+e.
Arrastando o cursor N controlamos a faixa vertical ilimitada traçada para os valores da abcissa maiores do que o valor N.

Para obter pontos do gráficos correspondentes a valores maiores da abcissa basta clicar com o rato ao mesmo tempo que se carrega na tecla “Shift” e consegue-se arrastar o gráfico para a esquerda revelando a zona do plano com maiores abcissas.

a) Mude o valor de L para 2. Explique porque é que sucessão (un) dada não converge para L=2.

b) Mude o valor de L para 0. Explique porque é que sucessão (un) dada não converge para L=0.


          c) Mude o valor de L de novo para 1. Explique porque é que sucessão (un) dada parece convergir para L=1.

d) Estude a convergência das sucessões de termo geral, indicado de seguida, para os possíveis limites indicados:


i)     , para L=0


ii)  , para L=1


iii)   , para L=1




 Voltar ao Início                                                              
Voltar Lista de Actividades