A noção de número e suas
extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da
humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das
comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas,
aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas.
Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente
contato com o amplo mundo da matemática.
Em todas as épocas da evolução humana,
mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta
faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por
exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um
objeto tenha sido retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua
significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a
capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é
um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir
um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores
competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número.
Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o
pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma
inexplicável, ele pode distinguir dois de três.
Um senhor feudal estava decidido a
matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes
tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo
voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só
voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois
homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro
não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse
saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens,
sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram
quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do
corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do
número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a
percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se
pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o
homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa
conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais
como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última,
especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os
testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas
provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem
civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é
ainda mais limitado.
Os estudos sobre os povos primitivos
fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não
alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão
quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva
da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e
muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os
indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que
nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as
linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra
inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três
vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas
tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e
très (muito).
Como nasceu o conceito de número? Da
experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar
explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis
aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos
ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar
de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido
rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o
núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do
número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor
feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a
completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava
destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse
artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da
humanidade.
Apesar disso, ainda que pareça
estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a
contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o
das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se
esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é
o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de
pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as
cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há
mais pessoas que poltronas.
Esse conhecimento é possível graças a
um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de
correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um
conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos
se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos
primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram
o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num
pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse
procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina
calculus, que significa pedra.
A idéia de correspondência
A correspondência biunívoca resume-se
numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem
se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número
que pertence à sucessão natural: 1,2,3...
A gente aponta para um objeto e diz:
um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os
objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a
coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com
conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um
mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...
A criação de um símbolo para
representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da
história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos
primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração
escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como
também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou
multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha
florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de
todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.
Pareceria à primeira vista que o
processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar,
por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das
pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da
palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do
mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento
possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os
conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com
o conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro
podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas
do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que
essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas
primitivos.
É claro que uma vez criado e adotado,
o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre
os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo.
À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o
som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens
para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma
abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem
numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a
aparição da escrita.
Todos os vestígios da significação
inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível
excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A
explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram
invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e
semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que
lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.
Palavras que representam números em
algumas línguas indo-européias:
Nº Grego arcaico Latim Alemão Inglês
Francês Russo
Fonte:
Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural
Por volta do ano 400 d.C., uma idéia audaciosa
de um estudioso de Alexandria começou a mudar toda a história da matemática.
Esse estudioso era Diofante de
Alexandria, que viveu de 325 a 409 e seus estudos se basearam no uso de
símbolos para facilitar a escrita e os cálculos matemáticos. Os Símbolos
criados por Diofante fizeram com que as expressões, até então escritas
totalmente com palavras, pudessem ser representadas com abreviações.
Diofante viveu numa época muito
tumultuada, presenciando, por exemplo, a queda do Império Romano, e isso, não
foi nada bom para a matemática, que teve todo um processo de desenvolvimento
interrompido devido ao clima de guerra que se criou e principalmente pela
destruição de muitos centros de estudos, fazendo com que a simbologia de
Diofante não saísse do estágio inicial.
Só no ano de 650 aproximadamente, com
a ascensão do Império Árabe, é que houve uma retomada dos estudos matemáticos.
De 786 a 809 no reinado do Califa
Harun al-Raschid (o mesmo das mil e uma noites) os muçulmanos conquistaram
vários territórios, fazendo surgir grandes cidades, centros de comércio e de
artesanato. Todas essas atividades comerciais, as viagens marítimas e através
do deserto, provocaram um grande desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos.
Em 809, com a morte de al-Raschid, seu
filho al-Mamum assumiu o trono e governou até 833.
al-Mamum criou em Bagdá um centro
de ensino e contratou os mais brilhantes sábios muçulmanos da época. Entre eles
estava Mohamed Ibn Musa al-Khowarizmi, grande matemático que escreveu um livro
chamado al-jabr, que significa restauração e refere-se a mudança de termos de
um lado para outro de uma equação. Provavelmente o termo Álgebra se originou do
título desse livro.
al-Khowarizmi, deu sua contribuição, mas
como muitos matemáticos de diversas épocas, não conseguiu expressar as equações
totalmente em símbolos. Isso só aconteceu 700 anos depois, quando França e
Espanha estavam em guerra, e para evitar que seus planos fossem descobertos
pelos inimigos tanto franceses com espanhóis, usavam códigos em suas mensagens.
Mas os espanhóis não se deram bem com essa estratégia, pois, sempre que um
mensageiro de suas tropas era capturado, os franceses rapidamente descobriam
seus planos militares.
"Os franceses têm um pacto com o
diabo" diziam os espanhóis, até o Papa foi chamado para resolver a
questão.
O demônio era François Viète um
advogado francês, capaz de decifrar os códigos secretos das mensagens
espanholas.
Apaixonado por álgebra, François Viète
viveu de 1540 até 1603 e passou para a história como o principal responsável
pela introdução dos símbolos no mundo da matemática. Por isso, ficou conhecido
como o Pai da Álgebra.
Além de Viète, outros matemáticos da
mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre
eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a).
Esse sinal foi usado foi
usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação
das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète.
A passagem para uma álgebra completamente
simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que
introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète:
1) criou o
símbolo (.) para a operação de multiplicação;
2) criou a
notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação:
3) passou a
usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficentes da incógnita e os
termos independentes (se literais) e as últimas letras para representar as
incógnitas.
Fonte:
http://www.trabalhoescolarurgente.hpg.ig.com.br