Aula nš 1
Dia: 6/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Apresentação do curso: Programa, Bibliografia e Avaliação.
Aula nš 2
Dia: 8/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 0 - PRELIMINARES: Revisão de conceitos fundamentais e
estabelecimento de alguma notação e terminologia.
0.1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
0.2. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Aula nš 3
Dia: 10/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 0.3. OS NÚMEROS INTEIROS
Princípio da boa ordenação. Algoritmo da divisão.
Aula nš 4
Dia: 13/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Máximo divisor comum:
Definição, existência e cálculo (Algoritmo de Euclides).
Números primos. Teorema Fundamental da Aritmética.
Aula nš 5
Dia: 17/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: I - GRUPOS
0. INTRODUÇÃO: Alguns exemplos de problemas estreitamente
relacionados com o desenvolvimento da Álgebra, cuja resolução
abordaremos ao longo do curso - uma perspectiva histórica:
- Resolubilidade de equações polinomiais; fórmulas resolventes
para as equações polinomiais de graus 2, 3 e 4. Polinómios
solúveis por radicais. Soluções de Abel e de Galois.
- Problemas geométricos clássicos: trissecção de um ângulo
dado, duplicação do cubo, quadratura do círculo.
- Resolubilidade de algumas equações diofantinas (como, por
exemplo, x^2+y^2=z^2 ou x^2+2=y^3).
- Estabelecimento de códigos que contenham sistemas de
detecção de vários tipos de erros (ISBN, UPC, etc.).
Aula nš 6
Dia: 20/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 1. DEFINIÇÃO DE GRUPO:
Motivação. Definição. Propriedades elementares.
Aula nš 7
Dia: 22/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Enfraquecimento dos axiomas de definição de grupo: formas
alternativas de definir um grupo.
Aula nš 8
Dia: 24/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Conclusão da aula anterior.
Notações importantes. Propriedades das potências.
Exemplos de grupos:
- O grupo das raízes quartas da unidade;
Aula nš 9
Dia: 27/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: - O grupo simétrico sobre X, Sim(X). O grupo simétrico de ordem n,
S_n;
- O grupo das simetrias de um rectângulo;
- O grupo (Z_m,+_m).
Aula nš 10
Dia: 29/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Determinação de todas as operações de grupo num conjunto com
4 elementos.
Isomorfismo de grupos.
Conclusão de que, a menos de isomorfismo, só existem dois grupos
de ordem 4: o grupo das simetrias do rectângulo e o grupo das
raízes quartas da unidade.
Aula nš 11
Dia: 31/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: A matemática dos números de identificação: ilustração de como
algumas técnicas algébricas elementares estão na base dos
códigos de identificação com auto-detecção de erros.
O código ISBN. O código de barras UPC.
Aula nš 12
Dia: 3/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Abordagem geral a este tipo de códigos. Condições que m e o
vector de identificação de algarismos para Z_m deverão verificar
para que o código detecte determinados tipos de erros (erros
simples, troca de dois algarismos, erros gémeos, erros gémeos
intercalados e erros fonéticos).
Aula nš 13
Dia: 5/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 2. SUBGRUPOS:
Definição. Diversas caracterizações.
Aula nš 14
Dia: 7/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Subgrupos gerados por conjuntos. Grupos finitamente gerados e
grupos cíclicos.
3. CLASSES LATERAIS:
Definição. Propriedades. Teorema de Lagrange.
Aula nš 15
Dia: 10/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 4. SUBGRUPOS NORMAIS. GRUPOS QUOCIENTE.
Aula nš 16
Dia: 12/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPO.
Definição. Exemplos. Propriedades.
Aula nš 17
Dia: 14/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Núcleo de um homomorfismo. Imagem de um homomorfismo. Propriedades.
Factorização de homomorfismos.
Aula nš 18
Dia: 17/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Primeiro teorema do isomorfismo. Exemplos:
Grupos de permutações; Teorema de Cayley.
Aula nš 19
Dia: 19/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Uma aplicação do Teorema de Cayley:
O critério de Siu-Hammel para verificar se um quadrado latino é
uma tabela de Cayley.
Aula nš 20
Dia: 21/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 6. GRUPOS CÍCLICOS:
Caracterização. Ordem de um elemento. Propriedades.
Aula nš 21
Dia: 24/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Continuação da aula anterior.
Aula nš
Dia: 26/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Tolerância de ponto.
Aula nš 22
Dia: 28/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Estrutura dos subgrupos de um grupo cíclico.
Aula nš 23
Dia: 3/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 7. PRODUTOS DIRECTOS
Aula nš 24
Dia: 5/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Produtos directos interno e externo.
Aula nš 25
Dia: 10/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 8. GRUPOS ABELIANOS FINITOS:
Qualquer grupo abeliano finito é uma soma directa de grupos S(p),
p primo.
Aula nš 26
Dia: 12/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Estudo dos grupos S(p): são soma directa de grupos cíclicos cuja
ordem é uma potência de p.
Aula nš 27
Dia: 15/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Conclusão do estudo dos grupos abelianos finitos: divisores
elementares e factores invariantes; Teorema de estrutura.
Aula nš 28
Dia: 17/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 9. GRUPOS DE PERMUTAÇÕES:
O grupo simétrico de ordem n. Definições e notações básicas.
Ciclos.
Aula nš 29
Dia: 19/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Teorema da factorização. Ordem de uma permutação.
Aula nš 30
Dia: 5/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Decomposição de uma permutação em transposições.
Permutações pares e permutações ímpares.
Aula nš 31
Dia: 7/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Sinal de uma permutação. Propriedades.
Estudo dos subgrupos de S_n.
O grupo alternante A_n de grau n.
Aula nš 32
Dia: 9/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: II - ANÉIS.
1. DEFINIÇÃO DE ANEL.
Propriedades básicas. Anéis comutativos e anéis unitários.
Exemplos. Divisores de zero.
Aula nš 33
Dia: 12/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Unidades de um anel.
Domínios de integridade e corpos. Exemplos.
2. SUBANÉIS. IDEAIS. ANÉIS QUOCIENTE:
Subanéis. Caracterização. Exemplos.
Aula nš
Dia: 14/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Edifício encerrado pelos alunos.
Aula nš 34
Dia: 16/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Ideais. Exemplos. Propriedades.
Anéis quociente.
Aula nš 35
Dia: 25/2/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Ideal gerado por um conjunto. Ideais principais; sua construção.
Aula nš 36
Dia: 27/2/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 3. HOMOMORFISMOS DE ANÉIS.
Aula nš 37
Dia: 2/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Factorização de homomorfismos de anéis.
Critérios de divisibilidade para 3, 9 e 11.
Aula nš 38
Dia: 4/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: A "prova dos nove".
4. EXTENSÕES DE ANÉIS.
Aula nš 39
Dia: 6/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Imersão de um domínio de integridade num corpo. Corpo dos quocientes.
Aula nš 40
Dia: 9/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Ideais primos.
Aula nš 41
Dia: 11/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Ideais maximais.
Aula nš 42
Dia: 13/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Polinómios e funções polinomiais.
Aula nš 43
Dia: 16/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Anéis de polinómios.
6. DOMÍNIOS DE IDEAIS PRINCIPAIS. DOMÍNIOS EUCLIDIANOS:
Definição e propriedades dos domínios de ideais principais.
Aula nš 44
Dia: 18/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Algoritmo da divisão no anel dos polinómios de coeficientes num
corpo. Conclusão de que estes anéis de polinómios são domínios
de ideais principais.
Aula nš 45
Dia: 20/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Domínios euclidianos. Exemplos. Propriedades.
7. DOMÍNIOS DE FACTORIZAÇÃO ÚNICA:
Definição da relação de divisibilidade num domínio.
Elementos associados. Elementos irredutíveis.
Aula nš
Dia: 23/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Não houve aula.
Aula nš
Dia: 25/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Não houve aula.
Aula nš
Dia: 27/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Não houve aula.
Aula nš 46
Dia: 30/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Elementos primos. Relação entre elementos primos e irredutíveis.
Exemplos.
Aula nš 47
Dia: 1/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Domínios de factorização única. Exemplos.
Aula nš 48
Dia: 3/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Lema de Gauss. Breve resumo das relações entre os vários tipos de
domínios introduzidos.
Máximo divisor comum. Exemplos. Propriedades.
Aula nš 49
Dia: 20/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Algoritmo de Euclides.
8. RAÍZES DE POLINÓMIOS.
Aula nš 50
Dia: 22/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Alguns resultados: caracterização das raízes; sua contagem;
relação entre anéis de polinómios e anéis de funções polinomiais;
determinação das raízes racionais de polinómios com coeficientes
inteiros.
Aula nš 51
Dia: 24/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: O Teorema Fundamental da Álgebra.
9. FACTORIZAÇÃO DE POLINÓMIOS:
Determinação dos polinómios irredutíveis sobre R e C.
Aula nš 52
Dia: 27/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Conclusão da aula anterior.
Alguns critérios de irredutibilidade de polinómios em Q.
Aula nš 53
Dia: 29/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Conclusão da aula anterior. Exemplos.
Aula nš 54
Dia: 4/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Ilustração, com a resolução de equações diofantinas,
da génese de alguns conceitos estudados neste capítulo.
III - CORPOS
1. CORPOS PRIMOS:
Definição. Exemplos. Subcorpos primos.
Aula nš 55
Dia: 6/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Característica de um corpo.
2. EXTENSÕES DE CORPOS:
Extensões simples.
Aula nš 56
Dia: 8/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Conclusão da aula anterior. Elementos algébricos e elementos
transcendentes sobre um corpo.
O Teorema de Lindemann: pi é transcendente sobre Q.
Aula nš 57
Dia: 15/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Extensões algébricas. Extensões finitas.
Aula nš 58
Dia: 18/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Conclusão da aula anterior.
Aula nš 59
Dia: 20/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Exemplos.
Aula nš 60
Dia: 22/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: 3. CORPOS DE DECOMPOSIÇÃO:
Definição e exemplos. O teorema de existência e unicidade
de Kronecker.
Aula nš 61
Dia: 25/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Conclusão da aula anterior. Exemplos. Corpos algebricamente
fechados.
Aula nš 62
Dia: 27/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Caracterizações de corpos algebricamente fechados.
Fecho algébrico. Exemplos.
4. CONCLUSÃO DO CURSO: ALGUMAS APLICAÇÕES.
Construções com régua e compasso:
- Problemas da geometria clássica.
- Regras para realizar tais construções.
Aula nš 63
Dia: 29/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: - Exemplos de construções.
- Os quatro problemas famosos: a duplicação do cubo, a trissecção
de um ângulo arbitrário, a quadratura do círculo e a inscrição
de um heptágono regular numa circunferência.
- Modelização da questão em termos algébricos: pontos
construtíveis.
Aula nš 64
Dia: 1/6/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: - Prova de que, dado um conjunto de pontos do plano e sendo K0 o
corpo gerado pelas coordenadas desses pontos, se (x,y) é
construtível a partir dos pontos dados então (K0(x):K0) e
(K0(y):K0) são potências de 2.
- Solução dos problemas famosos: impossibilidade da duplicação
do cubo usando "régua e compasso";
Aula nš 65
Dia: 3/6/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: - Impossibilidade da trissecção do ângulo de 60o;
- Impossibilidade da quadratura do círculo;
- Impossibilidade da construção de um heptágono regular.
Construção de n-gonos regulares: notas históricas; análise
da condição suficiente (de Gauss) e necessária (de Wantzel)
de construtibilidade. Os Números de Fermat.
Aula nš 66
Dia: 5/6/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
12:00-13:00 (T2)
Sumário: Resolução de equações por radicais: descrição do problema e
breve digressão pelos teoremas de Abel e Galois. Notas
históricas. Exemplos de polinómios não solúveis por radicais.