Álgebra II

2006/07

1º Semestre, 3º Ano
Licenciatura em Matemática

Evariste Galois

Novidades:
(10/09/07) Notas do exame especial de Setembro.
(14/02/07) Notas do exame de recurso.
(08/02/07) Exame de recurso (ficheiro pdf, dvi).
(23/01/07) Notas do exame.
(19/01/07) Exame (ficheiro pdf, dvi).
(20/12/06) Estarei ausente no estrangeiro de 7 a 17 de Janeiro. Terei disponibilidade para esclarecer dúvidas, relativamente à matéria para exame (19/1/07), no dia 18, da parte da tarde, ou antes do dia 7.
(10/12/06) Notas do teste 3.
(06/12/06) Soluções do teste 3 (ficheiro pdf, dvi).
(06/12/06) Teste 3 (ficheiro pdf, dvi).
(22/11/06) Adenda ao Teorema 3.8 (Capítulo 3).
(22/11/06) Encontra-se aqui uma versão corrigida do caderno de soluções (onde se corrigiu um erro na pág. 5, no Exercício 3.25).
(16/11/06) Notas do teste 2.
(09/11/06) Soluções do teste 2 (ficheiro pdf, dvi).
(08/11/06) Teste 2 (ficheiro pdf, dvi).
(12/10/06) Notas do teste 1.
(04/10/06) Soluções do teste 1 (ficheiro pdf, dvi).
(04/10/06) Teste 1 (ficheiro pdf, dvi).
(01/10/06) Podem encontrar aqui os testes e os exames do ano passado, bem como alguma soluções.
(27/09/06) Por sugestão de alguns alunos, os testes vão realizar-se sempre numa quarta-feira: 4 de Outubro, 8 de Novembro, 6 de Dezembro.
(22/09/06) Os testes realizar-se-ão durante a aula teórica, nos últimos 45 minutos da aula (9.15-10.00).
(11/09/06) As aulas começam na quarta-feira dia 13.

Docente

	Jorge Picado
	Gabinete: 6.5
	Horário de Atendimento: Segunda-feira 16.00-17.30, Quarta-feira 10.00-11.30*
	telef.: 239791155
	e-mail: picado@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/~picado/

	* Ou outro dia e hora a combinar (no final da aula ou por e-mail)

Programa

1. Anéis e corpos.
   Anéis, domínios de integridade e corpos. 
   Subanéis e ideais. Ideais principais.
   Anel quociente. Ideais primos e ideais maximais. 
   Homomorfismos de anéis. Característica. 
   
2. Anéis de polinómios.
   Polinómios. Anéis de polinómios. 
   Factorização: algoritmo da divisão, 
   polinómios irredutíveis, Teorema de Gauss 
   da factorização única.
   
3. Extensões de corpos. Elementos da teoria de Galois.          
   Extensões de corpos. Aplicações: construções 
   com régua e compasso, construção de polígonos regulares.
   Teoria de Galois. Aplicações: resolubilidade de 
   equações polinomiais por radicais.

4. Corpos finitos.
   Propriedades fundamentais. 
   Teorema da classificação (de Galois). 
   Teorema de Wedderburn. 
   Aplicações: teoria algébrica dos códigos.

«Antes de mais, deve observar-se que, hoje em dia, é aceite por toda a comunidade matemática a formulação conceptual, axiomática, da Álgebra. Mais do que isso, a metodologia algébrica é uma das ferramentas essenciais da Matemática. Por outro lado, depois de na segunda metade do século XX se ter assistido a uma abstracção sem paralelo na Matemática, mais recentemente, verificou-se um retorno a uma tradição nunca perdida: os desafios criados por problemas concretos, por vezes de natureza elementar, mas cuja solução requer métodos de extrema complexidade. O ensino da Álgebra deve, quanto a nós, reflectir este binómio abstracto-concreto. Como perguntava o grande matemático contemporâneo Vladimir Arnol’d, de que serve a um estudante saber o que é um anel local e as suas propriedades, se desconhecer o exemplo do anel das séries de potências?»

Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, Introdução à Álgebra,
IST Press, 2004

No desenvolvimento do programa seguir-se-à a recomendação de fundo expressa no programa mínimo da disciplina:

"... que se faça uma abordagem com um grau de abstracção algo apurado, de acordo com o facto de se tratar de uma disciplina do terceiro ano da licenciatura, mas sem esquecer que a álgebra pode apresentar-se com um olhar nas aplicações, que os seus temas, `clássicos', ou `modernos', foram e vão sendo originados por problemas concretos, e que alguns dos seus tópicos mais interessantes têm origem em questões complexas da geometria e da análise. Nesta perspectiva, deverá incluir-se no programa a resolução de problemas clássicos sobre as construções com régua e compasso, a resolução de equações através de radicais e diversas aplicações modernas da teoria dos corpos finitos à teoria dos códigos."

Bibliografia

J. Picado, Apontamentos de Álgebra II, 2005/2006

R. L. Fernandes e M. Ricou, Introdução à Álgebra, IST Press, 2004
A. Gonçalves, Introdução à Álgebra, IMPA, 1979 (13-01/GON)
M. Sobral, Álgebra, Universidade Aberta, 1996 (20-01/SOB) (20-01/SL)

A. Jones, S. Morris e K. Pearson, Abstract Algebra and Famous Impossibilities, Springer-Verlag, 1994 (12F/JON)
R. Lidl e H. Niederreiter, Introduction to Finite Fields and their Applications, Cambridge University Press, 2000 (12E/LID)
I. Stewart, Galois Theory, Chapman & Hall, 1973 (3a ed. 2004) (12F/STE)

Avaliação

Da avaliação constam:
1. 3 testes
2. exame final
3. prova complementar

Todos os alunos poderão participar nos testes, que se realizarão durante a aula teórica. 
Cotação de cada teste: 1,5 valores. Cotação do exame: 20 valores. 

Nota final = max{ (15,5 / 20) nota exame + nota testes , nota exame } (arredondada às unidades)*

* Defesa de nota, através de prova complementar, para os alunos que obtenham nota final superior a 16.


Datas dos testes: Primeiro teste:  4 de Outubro
                  Segundo teste:   8 de Novembro
                  Terceiro teste:  6 de Dezembro

Datas dos exames: Época normal:  19 de Janeiro de 2007 às 14.30 horas
                  Época de recurso:  7 de Fevereiro de 2007 às 14.30 horas
                  Época especial:  3 de Setembro de 2007, às 9 horas.