Álgebra II

2004/05

1º Semestre, 3º Ano
Licenciatura em Matemática

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Evariste Galois

Novidades:
(19/01/05) Exame.
(17/01/05) Errata dos apontamentos das aulas.
(14/01/05) Os problemas das aulas práticas estão aqui.
(09/01/05) Horário de atendimento aos alunos: Sexta-feira 14/01 (15h-18h), Terça-feira 18/01 (10-12.30).
(29/12/04) Exame modelo (ficheiro pdf, dvi).

Docentes

 
Aulas teóricas:
	Jorge Picado
	Gabinete: 6.5
	Horário de Atendimento: Terça-feira e quinta-feira (das 14.30h às 16h)*
	telef.: 239791155
	e-mail: picado@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/~picado/

	* Ou outro dia e hora a combinar (por e-mail ou no final da aula)

Aulas práticas:
	Gonçalo Gutierres
	Gabinete: 2.4
	Horário de Atendimento: Segunda-feira (das 15h às 18h)
	e-mail: ggutc@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/docentes/ggutc.html

Programa

    1. Anéis e corpos.
   Anéis, domínios de integridade e corpos. 
   Subanéis e ideias. Ideais principais.
   Anel quociente. Ideais primos e ideias maximais. 
   Homomorfismos de anéis. Característica. 
   
2. Anéis de polinómios.
   Polinómios. Anéis de polinómios. 
   Factorização: algoritmo da divisão, 
   polinómios irredutíveis, Teorema de Gauss 
   da factorização única.
   
3. Extensões de corpos. Elementos da teoria de Galois.          
   Extensões de corpos. Aplicações: construções 
   com régua e compasso, construção de polígonos regulares.
   Teoria de Galois. Aplicações: resolubilidade de 
   equações polinomiais por radicais.

4. Corpos finitos.
   Propriedades fundamentais. 
   Teorema da classificação (de Galois). 
   Teorema de Wedderburn. 
   Aplicações: teoria algébrica dos códigos.




«Antes de mais, deve observar-se que, hoje em dia, é aceite por toda a comunidade matemática a formulação conceptual, axiomática, da Álgebra. Mais do que isso, a metodologia algébrica é uma das ferramentas essenciais da Matemática. Por outro lado, depois de na segunda metade do século XX se ter assistido a uma abstracção sem paralelo na Matemática, mais recentemente, verificou-se um retorno a uma tradição nunca perdida: os desafios criados por problemas concretos, por vezes de natureza elementar, mas cuja solução requer métodos de extrema complexidade. O ensino da Álgebra deve, quanto a nós, reflectir este binómio abstracto-concreto. Como perguntava o grande matemático contemporâneo Vladimir Arnol’d, de que serve a um estudante saber o que é um anel local e as suas propriedades, se desconhecer o exemplo do anel das séries de potências?»

Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, Introdução à Álgebra,
IST Press, 2004


No desenvolvimento do programa seguir-se-à a recomendação de fundo expressa no programa mínimo da disciplina:

"... que se faça uma abordagem com um grau de abstracção algo apurado, de acordo com o facto de se tratar de uma disciplina do terceiro ano da licenciatura, mas sem esquecer que a álgebra pode apresentar-se com um olhar nas aplicações, que os seus temas, `clássicos', ou `modernos', foram e vão sendo originados por problemas concretos, e que alguns dos seus tópicos mais interessantes têm origem em questões complexas da geometria e da análise. Nesta perspectiva, deverá incluir-se no programa a resolução de problemas clássicos sobre as construções com régua e compasso, a resolução de equações através de radicais e diversas aplicações modernas da teoria dos corpos finitos à teoria dos códigos."

Bibliografia

J. Picado, Apontamentos de Álgebra II, 2004/05

R. L. Fernandes e M. Ricou, Introdução à Álgebra, IST Press, 2004
A. Gonçalves, Introdução à Álgebra, IMPA, 1979 (13-01/GON)
M. Sobral, Álgebra, Universidade Aberta, 1996 (20-01/SOB) (20-01/SL)

A. Jones, S. Morris e K. Pearson, Abstract Algebra and Famous Impossibilities, Springer-Verlag, 1994 (12F/JON)
R. Lidl e H. Niederreiter, Introduction to Finite Fields and their Applications, Cambridge University Press, 2000 (12E/LID)
I. Stewart, Galois Theory, Chapman & Hall, 1973 (3a ed. 2004) (12F/STE)

Avaliação

Da avaliação constam:
1. exame final
2. testes
3. prova complementar

Nota final = nota obtida em exame + nota testes * 

Todos os alunos poderão participar nos testes, que se realizarão em parte da aula prática. 
Cada teste vale 1 valor.

Datas dos testes: Primeiro teste:  aula prática de 19 de Outubro ou 20 de Outubro de 2004
                  Segundo teste:  29 de Novembro de 2004.

Datas dos exames: Época normal:  19 de Janeiro de 2005 às 9 horas
                  Época de recurso:  14 de Fevereiro de 2005 às 9 horas.
 
* Defesa de nota, através de prova complementar, para os alunos que obtenham nota final superior a 15.